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Von

T L. Schläfli.

Herausgegeben im Auftrage der Denkschriften-Kommission der Schweizer. Naturforschenden Gesellschaft

von

J. H. Graf, Bern.

Separatabdruck aus den Denkschriften der Schweizerischen naturforschenden Gesellschaft. %

Band XXXVII. 1. Hälfte.

Auf Kosten der Gesellschaft und mit Subvention des Bundes _ gedruckt von Zürcher & Furrer in Zürich Kommissions-Verlag von Georg & Co. in Basel, Geneve und Lyon.

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Theorie

der

vielfachen Kontinuität,

Von

f L. Schläfli.

Herausgegeben im Auftrage der Denkschriften-Kommission der Schweizer. Naturforschenden Gesellschaft von

J. H. Graf, Bern.

Druck ron ZÜRCHER & FURRER in Zürich.

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Vorbemerkung

Die vorliegende Abhandlung Ludwig Schläfli’s stammt aus den Jahren 1850 bis 1852. Schläfii erwähnt sie zum ersten Mal in seinem Brief an Steiner 3.1. 1852 *) und sandte sie, nachdem die Wiener Akademie seine Arbeit „Ueber die Resultante eines Systems mehrerer algebraischer Gleichungen“ angenommen und in ihren Denkschriften 1852 publiziert hatte, dem Sekretär dieser Akademie ein. Auf dem Umschlag findet sich von dessen Hand der Vermerk: „655/1852 praes. 8. Okt.“. Schläfli bringt ım ange- gebenen Brief noch mehrere Integrale, die wir als Anmerkung zum Brief publiziert haben und spricht die Absicht aus, falls die Akademie die Schrift wegen ihres grossen Umfangs (sie wurde auf 23 Bogen 4° geschätzt) nicht annehmen wolle, dieselbe als Privatschrift herauszugeben und bittet Steiner, ihm hiezu in Berlin behülflich zu sein.

Seite 27 des „Briefwechsels“ haben wir das Konzept eines Briefes dat. vom Dez. 1851 an den Sekretär der k. k. Akademie der Wissenschaften in Wien publiziert. Dieser Brief sollte denselben über die Absichten des Autors orientieren. Die Aufnahme der Arbeit wurde des grossen Umfangs halber verweigert. Vergeblich ermunterte Steiner (siehe Brief vom 15. Okt. 1853, S. 41 des Briefwechsels, sodann in einem Brief an Schläfi’s Freund Prof. Ris und an Schläfli vom 10. März 1854) aus der „Weltüber- stürmenden Erdewälzenden“ Abhandlung einen Auszug zu machen, der etwa 4 oder 12 Bogen wäre, Schläfli’s erste Begeisterung für die Arbeit war vorbei (S. 59). Er sandte sie erst 1854 an Crelle in Berlin, den Herausgeber des Journals für reine Mathe- matik (siehe $S. 74). 1855 liess Steiner Crelle wieder an die Arbeit erinnern (siehe S$. 191), dann verwandte sich Steiner erfolglos bei Reimer, dem Verleger des genannten Journals; auch Borchardt, der neue Herausgeber desselben, wollte mithelfen, die Publikation der Arbeit zu ermöglichen. Am 17. Mai 1856 konnte Steiner seinem Freunde L. Schläfli . schreiben, dass sich Reimer herbeigelassen habe, die Aufnahme der Arbeit ins Journal,

*, Vergleiche „Der Briefwechsel zwischen Jakob Steiner und Ludwig Schläfli, herausgegeben von J.H. Graf, Mittlgen. der bern. Naturf. Gesellschaft 1896, S. 76 und auch separat bei K. J. Wyss, Bern, S. 20.

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IV

sowie 200 Extraabzüge und ein kleines Honorar zu versprechen. Trotzdem sich Schläfli laut Brief vom 19. Mai 1856 sofort, beseelt von dem Wunsch, die Arbeit nach so vielen Jahren endlich einmal veröffentlicht zu sehen, mit allen Bedingungen einverstanden er- klärte, da auch die Fortsetzung dazu schon längst geschrieben sei, so unterblieb der Druck doch. Nach einer Aeusserung Steiner’s zu schliessen, war nun Borchardt dagegen. Die Arbeit kam wieder nach Bern zurück, wo wir sie unter den nachgelassenen Papieren des grossen Meisters gefunden haben. Das Manuskript gehört wie alle andern von Schläfli stammenden der schweizer. Landesbibliothek in Bern an. Der erste Teil bis Seite 78 trägt Korrekturen, wahrscheinlich von der Hand Crelle’s oder Borchardt’s, um die Arbeit zum Drucke einzurichten. Sie sind mehr redaktioneller Natur oder be- ziehen sich auf die Auswahl der Lettern oder die Anordnung. Wir halten aber dafür, die Arbeit soll im ursprünglichen Wortlaut ohne jeden Zusatz oder irgend eine Anmerkung unsererseits gedruckt werden, und sind der Meinung, dass sie nicht bloss historischen Wert, sondern gerade für die Theorie der Geometrie von n Dimensionen noch eine Fülle anregender Gedanken enthalte. Beigegeben wird die Selbstanzeige, dat. 5. Juli 1852, hinzugefügt ist ein Inhaltsverzeichnis. Der Denkschriften- Kommission der Schweiz. Naturforschenden Gesellschaft gebührt der beste Dank, dass sie die Herausgabe des Werkes ermöglicht hat. Herr Prof. Dr. P. Stäckel in Kiel hat die Güte gehabt, die Korrektur ebenfalls durchzusehen, wofür ich ıhm an dieser Stelle herzlich danke.

Bern, im Oktober 1901. Prof. Dr. J. H. Graf.

Anzeige einer Abhandlung über die Theorie der vielfachen Kontinuität.

Die Abhandlung, die ich hier der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften vorzu- legen die Ehre habe, enthält einen Versuch, einen neuen Zweig der Analysis zu begründen und zu bearbeiten, welcher, gleichsam eine analytische Geometrie von n Dimensionen, diejenigen der Ebene und des Raumes als spezielle Fälle für n = 2, 3 in sich enthielte. Ich nenne denselben Theorie der vielfachen Kontinuität überhaupt in demselben Sinne, wie man z. B. die Geometrie des Raumes eine Theorie der dreifachen Kontinuität nennen kann. Wie in dieser eine Gruppe von Werten der drei Koordinaten einen Punkt bestimmt, so soll in jener eine Gruppe gegebener Werte der n Variabeln x, y. ... eine Lösung bestimmen. Ich gebrauche diesen Ausdruck, weil man bei einer oder mehreren Gleichungen mit vielen Variabeln jede genügende Gruppe von Werten auch so nennt; das Unge- wöhnliche der Benennung liegt nur darin, dass ich sie auch noch beibehalte, wenn gar keine Gleichung zwischen den Variabeln gegeben ist. In diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen die n-fache Totalität; sind hingegen 1, 2, 3,... Gleichungen gegeben, so heisst resp. die Gesamtheit ihrer Lösungen (n — 1) faches, (n — 2) faches, (n — 3) faches, ... Kontinuum. Aus der Vorstellung der allseitigen Kontinuität der in einer Totalität enthaltenen Lösungen entwickelt sich diejenige der Unabhängigkeit ihrer gegenseitigen Lage von dem System der gebrauchten Variabeln, insofern durch Transformation neue Variabeln an ihre Stelle treten können. Diese Unabhängigkeit spricht sich aus in der Unveränderlichkeit dessen, was ich den Abstand zweier ge- gebener Lösungen (x, y, - . -), (&,y, ...) nenne und im einfachsten Fall durch

Ve — 0)? +(y — y)’ + ete.

definiere, indem ich gleichzeitig das System der Variabeln ein orthogonales heisse, zum Unterschied von einem schiefen System, worin

Va — DD? +(y — W+ete +2k(e —a)(y —y)—+ etc.

den Abstand zweier Lösungen darstellte Indem ich ferner ausschliesslich orthogonale Systeme gebrauche, nenne ich jede lineare Transformation der Variabeln, durch welche die Orthogonalität eines Systems nicht geändert wird, d. h., bei welcher die analytische

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Form des Abstandes, Quadratwurzel aus einer Summe von Quadraten, dieselbe bleibt, eine orthogonale Transformation. Sind diese Vorstellungen durchlaufen, so hat man einen Begriff von der Gleichgültigkeit der vielfachen Totalität, ganz ähnlich wie von der des Raumes; .man hat gleichsam die Totalität von dem willkürlichen Zwang des zu ihrer Darstellung verwendeten Variabeln-Systems wiederum befreit. Diese Andeutungen, bei denen ich einige Weitläufigkeit nicht wohl vermeiden konnte, mögen genügen, um die Grundlage der hier behandelten Theorie zu bezeichnen.

Die Abhandlung zerfällt in drei Abschnitte, 1. über die linearen, 2. über die sphärischen, 3. über die quadratischen und höheren Kontinuen. Um ohne Weitläufigkeit zu zeigen, dass namentlich in den zwei ersten Abschnitten Dinge vorkommen, welche von der analytischen Geometrie des Raumes aus kaum sich ahnen lassen, führe ich nur den Satz in S 22 an.

Um die Aussage desselben einzuleiten, diene folgende Erklärung. Wenn p=ac+by+cez+...+hlw py =ac+by+...—+ hw zwei lineare und homogene Polygone der n Srthöronalen Variabeln x, y,.... w bezeichnen, und man denkt sich die Gesamtheit aller Lösungen, für welche zugleich p>o, p >o: so steht diese zur unbe- schränkten Totalität im Verhältnis eines Bruchteils zum Ganzen. Wird 2: als letztes Glied dieses Verhältnisses angenommen, so nenne ich das erste Glied den Winkel der Polynome p,p'. Wird derselbe durch Z (p,p’) bezeichnet, so ist

ad +bb +ccl -H... + hl Ye+ß®+..+122 Ya?+b?+...+%?

wo die Quadratwurzeln im Nenner nur positiv zu verstehen sind.

— 08 Z/ (pp) =

Ist nun das nfache Integral S, = f dxzdydz...dw durch die Bedingungen p, > o, Pr >9% :...- pr>9, @+y—+...—+w?”<1l begrenzt, so hängt sein Wert nur von den Yan(nm —1) Winkeln zwischen den n linearen und homogenen Grenzpolynomen p ab (wesshalb ich diese Winkel die Argumente der Funktion $, nenne); und, wenn die transcendente Funktion, als welche der Winkel in Beziehung auf seinen zunächt ge- gebenen Kosinus en ist, en mitgezählt wird, so erfordert die Berechnung

® fache Integrationen, je nachdem n gerade oder

—2 jenes Integrals nur I—- oder — =

ungerade ist. Denn der z. B. nach dem Argument Z (p, pP.) genommene Differential- koeffizient von S, ist der nte Teil eines ähnlichen, aber bloss (n — 2) fachen Integrals S„_., dessen Argumente durch trigonometrische Relationen mit den ursprünglichen Ar- gumenten verbunden sind. Transformiert man nämlich orthogonal die Variabeln so, dass die Polynome p, und 9, nur die zwei ersten von den neuen Variabeln enthalten, und tilgt dann in allen übrigen Polynomen diese zwei Variabeln, so hat man die v — 2 Grenzpolynome von S,_:.

Ist die Ordnung n einer Funktion S,„ ungerade, so kann man diese linear durch lauter solche Funktionen von gerader Ordnung ausdrücken, deren Argumente geradezu

=, 9

schon unter den ursprünglichen sich vorfinden. (Hieher gehört es z. B., wenn fürn = 3 der Inhalt eines Kugeldreiecks nicht eine neue transcendente Funktion erfordert, sondern sich durch die schon der Ebene eigenen Funktionen, nämlich durch die Winkel des Dreiecks, linear ausdrücken lässt.) Nur die Integrale $S, von gerader Ordnung sind demnach eigentümliche transcendente Funktionen.

Man kann ferner jedes. Integral S, auf mannigfaltige Weise als Summe von Integralen derselben Ordnung darstellen, deren. Argumente mittels trigonometrischer Relationen aus den ursprünglichen zu berechnen sind. Unter diesen Arten der Zer- legung giebt es auch solche, wo sämtliche Teil-Integrale eine spezielle Beschaffenheit erhalten. Man kann nämlich die Grenzpolynome einer solchen S,’so an einander reihen, dass nur die Winkel zwischen je zwei unmittelbar auf einander folgenden von rechten abweichen, alle übrigen Winkel dagegen rechte sind. Eine so spezialisierte Funktion S,„ hat also nur noch n — 1 freie Argumente. Da es wünschbar ist, die Zahl der Argu- mente einer Funktion so sehr als möglich zu vermindern, so richtet sich nun die ganze Aufmerksankeit auf diese speziellen Funktionen S,, welche ich Orthoscheme genannt habe. Unter anderem führt die Betrachtung gewisser Perioden solcher Orthoscheme zur Kenntnis einiger Fälle, wo der Wert eines Oythoschems in finiter Form angegeben werden kann. Sollen zugleich alle Argumente rationale Teile des Halbkreises z sein, so gläube ich in der vorliegenden Abhandlung alle Fälle, wo dann auch das Orthoschem zur Polysphäre ein rationales Verhältnis hat, vollständig aufgezählt zu haben. Für n = 4 können die Nenner der Argumente nur 3, 4, 5, für alle höheren Dimensions- 4 2 niedrigere Ordnung zurückführt). Der Entscheid, ob alle hieher gehörenden Fälle voll- ständig aufgezählt sind, scheint ungemein schwierig; aber man wird das Interesse der Frage am besten würdigen, wenn man bedenkt, dass ihr für n = 2 die bekannte von Gauss absolvierte Aufgabe der Kreisteilung entspricht.

Was in den zwei ersten Abschnitten gegeben ist, halte ich alles für neu. Anders verhält es sich mit dem dritten Abschnitt. Hier findet die Bestimmung der Hauptaxen eines quadratischen Kontinuums, als analytische Aufgabe betrachtet, sich schon in der Theorie der sekulären Störungen der Planeten, wie sie Laplace in seiner Mecanique celeste gegeben hat. Die Bestimmung des kürzesten Weges auf einem quadratischen Kontinuum findet sich angedeutet von Jacobi in einem Vortrag an die Berliner-Akademie vom Jahre 1839. Dass ich ferner die Frage nach der Existenz orthogonaler Kontinuen aufgeworfen und erörtert habe, war veranlasst durch den von Lame eingeführten Be- griff orthogonaler Flächen. Ob die hier für n = 3 gegebene Konstruktion eines ganz beliebigen Systems orthogonaler Flächen schon von Lam& ausgeführt worden ist, weiss ich nicht, da mir die ersten Bände von Lionville’s Journal, in denen dieser Gegenstand wahrscheinlich behandelt ist, nicht zu Gebot standen. Die Begriffe des Potentials und des Differentialparameters sind von Gauss und Lame& so benannt und zu physikalischen

zahlen gar nur 3, 4 sein (das Argument ist auszuschliessen, weil es immer auf eine

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Untersuchungen angewandt worden, und mehrere hieher gehörige Sätze von überraschender Eleganz, zum Teil wenigstens, wie es scheint, von Lame herrührend, hat Lionville in seinen Briefen an Blanchet (über verschiedene das Ellipsoid betreffende analytische und mathematisch-physikalische Fragen, Lionville XI, Juni 1846) mitgeteilt und bewiesen. In der vorliegenden Abhandlung sind auch diese Sätze von drei auf » Dimensionen über- getragen. — Wenn ich nun auch das Verdienst des Generalisierens nur gering anschlage, so hielt ich es doch für nötig, einmal alle diese Betrachtungen in der Theorie der viel- fachen Kontinuität zu vereinigen; man wird hier manches Neue finden, was ausser diesem Zusammenhang nicht dargestellt werden konnte.

Ich hoffe, durch die vorliegende Abhandlung faktisch gezeigt zu haben, dass in der reinen Analysis die Konstruktion nicht weniger mit Erfolg angewandt werden kann, als in der Geometrie.

Bern, den 5. Juli 1852.

Dr. L. Schläfli.

Theorie der vielfachen Kontinuität.

Einleitung.

——

Wenn man die gegenseitige Abhängigkeit zweier Variabeln zur lebhaften An- schauung bringen will, so bedient man sich häufig der ebenen Kurven, indem man jene zwei Variabeln als rechtwinklige Koordinaten setzt, und baut so auf die geometrische Anschauung eine Reihe von Schlüssen, deren letztes Ergebnis eine rein analytische Bedeutung hat. Es wird wohl niemand es bestreiten, dass ein solches Verfahren eben so sicher sein kann, als ein rein analytisches, welches sorgfältig alle der Geometrie entlehnten Ausdrücke vermeidet, und dass in beiden eigentlich dieselben Dinge, nur in anderer Sprache, dargestellt werden; denn es ist gewiss ganz dasselbe, ob man die Funktionsweise, in der zwei Variabeln von einander abhängen, unmittelbar anschaut, oder erst, indem man mit den Augen den Lauf einer gezeichneten Kurve verfolgt. Das durch geometrische Anschauung vermittelte Verfahren hat freilich den Vorzug der leichtern, auch dem Unvorbereiteten sogleich verständlichen Sprache, und kann daher für die populäre Darstellung nur empfohlen werden. Wenn aber die Zahl der in gegen- seitiger Abhängigkeit stehenden Variabeln über drei hinausgeht, so bleibt die bequeme Nachhülfe der geometrischen Anschauung und Ausdrucksweise zurück; aber sollte es wohl darum der Analysis versagt sein, aus eigenen Mitteln diesen fühlbaren Mangel zu ersetzen und sich einen Vorrat von Anschauungen und Bezeichnungen anzulegen, worin sie dieselbe leichte Uebersicht der Funktionsweisen und ihrer singulären Eigenschaften wiederfindet, welche sie vorher von der Geometrie entlehnte? Als einen Versuch, nach dieser Seite hin eine neue Bahn in der Analysis zu eröffnen, möchte ich gegenwärtige Abhandlung dem nachsichtigen Urteile des geneigten Lesers übergeben.

Der vorliegende Stoff ist so eingeteilt, wie wenn man etwa in der Geometrie 1. die Gerade und Ebene, 2. den Kreis und die Kugel, 3. die Kurven und Flächen zweiten Grades, 4. endlich die infinitesimalen Eigenschaften der Kurven und Flächen überhaupt, nach einander behandeln würde.

Erster Teil.

Lehre von den linearen Kontinuen.

$ 1. Definitionen.

Wenn eine oder mehrere Gleichungen die n Variabeln x, y, 2,... enthalten, so nennt man jede Gruppe von Werten dieser letzten, welche allen jenen Gleichungen genügen, eine Lösung des gegebenen Systems. Diese Lösung ist bestimmt, wenn die Zahl der Gleichungen ebenfalls n ist; dagegen wird ein kontinuierlicher Uebergang von einer Lösung zu einer anderen möglich sein, wenn die Zahl der Gleichungen geringer ist; in diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen ein Kontinuum, und zwar ein ifaches, wenn ö die Zahl der unabhängigen Variabeln (oder die Dimensions- zahl des Kontinuums) ist; ferner ein lineares, wenn alle Gleichungen vom ersten Grade sind, ein höheres, wenn wenigstens eine Gleichung den ersten Grad übersteigt. Ein einfaches Kontinuum überhaupt werde ich Weg, und wenn es insbesondere noch linear ist, Strahl nennen. Unter dem Weg, der zwei Lösungen verbindet, ist die Ge- samtheit aller Lösungen zu verstehen, welche von der Anfangs- bis zur Endlösung kontinuierlich auf einander folgen. Da von Kontinuen, welche nur durch eine Gleichung zwischen n Variabeln bestimmt sind, häufiger die Rede sein wird, als von solchen, deren Dimensionszahl zwischen 1 und n — 1 liegt, so werde ich ein (n — 1) faches Kontinuum meist schlechthin Kontinuum nennen, wenn kein Missverständnis zu besorgen ist.

Da einmal das Wort Lösung eine Gruppe von zusammengehörigen Werten der n Variabeln x,y,... bezeichnet, so werde ich dasselbe Wort noch behalten, wenn auch gar keine Gleichung vorliegt; und in diesem Sinne nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen die Totalität und zwar nfache Totalität, wenn es nötig wird, die Zahl n aller Variabeln x,y,--- anzugeben. Sind zwar alle Variabeln unter sich unabhängig, aber dem nfachen Integral / dxrdydz... Grenzen gesetzt, durch welche keiner Variabeln ein unendliches Wachstum gestattet wird, so nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen, über welche sich dieses Integral erstreckt, ein geschlossenes Stück der Totalität und das Integral selbst dessen Mass. Wie geschlossene Stücke eines Kontinuuns von beliebiger Dimensionszahl gemessen werden können, wird sich im weiteren Ver- laufe zeigen.

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Wenn wir nun die Vorstellung von der Kontinuität aller in der nfachen Totalität enthaltenen Lösungen von dem speziellen Systeme, vermöge dessen in jeder Lösung die Variabeln gerade diese und keine anderen Werte erhalten, frei zu machen suchen, indem wir uns n Transformationsformeln, durch welche die alten Variabeln in neue übergehen können, denken, so ist es ganz natürlich, dass wir den linearen Transformationen vor allen anderen einen gewissen Vorzug geben. Die allereinfachste lineare Trans- formation besteht darin, dass man jede alte Variable als Summe einer Konstanten und einer gleichnamigen neuen Variabeln setzt, und durch eine solche Transformation sind wir immer im stande, irgend eine gegebene Lösung als eine erscheinen zu lassen, in der sämtlichen neuen Variabeln der Nullwert zukommt. Wenn wir daher eine Funktion suchen, welche auf die möglichst einfache Weise die Verschiedenheit zweier Lösungen misst, so werden nur die Unterschiede der gleichnamigen Variabeln darin eingehen. Sind diese Unterschiede alle bis auf einen gleich Null, so ist offenbar dieser, absolut genommen, das natürliche Mass der Verschiedenheit beider Lösungen, und überhaupt darf jene Funktion sich nicht ändern, wenn auch ein Unterschied negativ genommen wird, weil die Aenderung des Vorzeichens bei einer Variabeln die Aufeinanderfolge der Lösungen in der Totalität nicht ändert. Es ist ferner natürlich, anzunehmen, dass, wenn alle Unterschiede in demselben Verhältnisse vergrössert werden, auch jene Funktion in demselben Verhältnisse sich vergrössern muss. Die Funktion muss also in Beziehung auf die Unterschiede x, y, 2,... der Variabeln homogen und vom ersten Grade sein. Endlich muss noch die Freiheit linearer Transformationen, durch welche die Form dieser Funktion nicht geändert wird, möglichst gross sein. Alle diese Rücksichten zusammen bestimmen uns, Ya? Y”—+2°—+.... als Form dieser Funktion anzunehmen, wo die Quadratwurzel immer positiv zu verstehen ist. Wir beginnen demnach die Theorie der vielfachen Kontinuität mit folgender Definition:

Das Quadrat des Abstandes zweier Lösungen ist gleich der Summe der Quadrate der Unterschiede der gleichnamigen Variabeln.

Satz. Wenn drei reelle Lösungen gegeben sind, so giebt es zwischen denselben im ganzen drei Abstände. Die Summe von je zweien derselben kann nie kleiner sein als der dritte.

Beweis. Die Unterschiede der Variabeln seien a,b,..., wenn man von der ersten Lösung zur zweiten fortgeht, und @,D,..., wenn man von dieser zur dritten fortgeht, dann sind se ata,b-+D,...., wenn man von der ersten Lösung zur dritten fortgeht. Werden nun die Abstände mit r, r', »" bezeichnet, so ist

r=e®+D-+.., M"=a’-1V°+., rr=(lta” Hl HN) +... folglich

y'? se rv? y 2 ae 2 (aa’ ie AN > n ); rt — (rt) 4 \(ab — ab)’ —+ ete.!.

A ‘Für reelle Lösungen ist also das Produkt (r —_ y — ) (— y .— Y —-- r') (7 ur, — r') & a. Pd NET r')

immer positiv. Nehmen wir nun alle drei Abstände als positiv und r<r' <r’ an, so sind ausser dem Faktor »—+- »’ — r’ alle drei übrigen positiv, folglich muss auch dieser positiv sein. d.h.r+r>r..

Sollte + r’ = r" werden, so müssten alle Ausdrücke ab’ — «ab, etc. verschwinden, d.h. es müsste a:b:c:...=a:V:c:.... sein.

Wenn die Unterschiede der Werte zweier Lösungen, einer konstanten A und einer veränderlichen P, proportional wachsen, so durchläuft die Lösung P einen Strahl]; denn ihre Werte sind dann Funktionen ersten Grades einer einzigen unabhängigen Variabeln. Es sei B irgend eine von A verschiedene, in. jenem Strahl enthaltene Lösung, die wir uns als fest denken. Wenn dann auf demselben Strahl irgend eine Lösung P auf A folgt und vor B vorhergeht, so ist immer der feste Abstand AB gleich der Summe der veränderlichen Abstände AP und PB.

Den Abstand AB denken wir uns daher fortan auch als Mass des Strahls, welchen die Lösung P von 4 bis nach B durchläuft.

Nehmen wir ausser den Lösungen A, B noch einige andere (C, D, E an, welche nicht auf dem Strahle AB liegen, so ist leicht zu zeigen, dass die Summe der hier ge- nannten Abstände grösser ist als der Abstand AB. Es ist nämlich AC+-CD>AD, AD+-DE>AE AE+EB>AB, also AC+CD-+ DE-+-EB>AB. Jene vier Abstände, an einander gereiht, bilden aber ein einfaches Kontinuum, das von A bis B reicht.

Denken wir uns nun die n Variabeln der Lösung P als eben so viele beliebige Funktionen einer Unabhängigen, welche für einen Anfangswert derselben mit den Werten der Lösung A und für einen Endwert mit den Werten der Lösung B zusammenfallen und dazwischen keine Unterbrechung der Kontinuität erleiden, so beschreibt gleichsam die Lösung P einen von A bis B reichenden Weg, und es wird immer möglich sein, auf diesem eine hinreichende Menge von Lösungen P so zu verteilen, dass der Fehler, den man begeht, indem man den zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden Lösungen enthaltenen Weg durch ihren Abstand ersetzt, von einer höheren Ordnung wird, als dieser Abstand selbst, den wir uns als verschwindend klein denken. Daraus folgt, dass jener totale Weg AB, wofern er nicht gerade ein Strahl ist, immer grösser sein wird als der von einem Strahle beschriebene Abstand AB.

Sind x, y,.... die Variabeln, dx, dy, ... ihre Differentiale unter der Voraussetzung

einer Unabhängigen, so ist s= (y de?—+dy?—+... die Länge des Weges, wenn das Integral von der Lösung A bis zur Lösung B reicht. Die Variationsrechnung

zeigt, dass dieser Weg ein Minimum wird, wenn die Variabeln Funktionen ersten Grades sind.

S$S 2. Orthogonale Transformation der Variabeln.

Werden die n Variabeln x, y,... durch solche lineare Funktionen von rn neuen Variabeln 4, €, Ü',... ersetzt, dass der Ausdruck für den Abstand zweier Lösungen seine Form nicht ändert, so soll diese lineare Transformation eine orthogonale heissen.

Da im Ausdrucke für den Abstand » zweier Lösungen nur die Unterschiede ihrer gleichnamigen Werte vorkommen, so sind hier die Konstanten jener linearen Trans- formationsformeln von keinem Belang; und, wenn man sie weglässt, so sind die Differenzen des ursprünglichen Systems im übrigen dieselben Funktionen der Differenzen des zweiten Systems, wie die Variabeln des ersten von denen des zweiten. Es seien daher x, y,... die Differenzen der ursprünglichen, t, t, t',... die der neuen Variabeln, oder, was auf dasselbe hinauskommt, 0, 0, o,... seien in beiden Systemen die Werte der ersten Lösung, %,Y, 2, ... diejenigen der zweiten Lösung im alten, und 4, £',... im neuen Systeme. Dann sei

z=aot+at-+---, Y = ßBt+PßÜ+---, etc., so wird "= +y-+ = (”+ßP-H-)P—+ete—+2(ea BP —+:--)El + ete., und wenn >? = t?—+t”-- etc. sein soll, so müssen die Transformationselemente den Bedingungen

+ + Pol, ete. | aa +’ + + —=0, ete. | (1) genügen. Es sei | Amar a j Be.

also vermöge jener Bedingungen 4?—=1, und 4 entweder = — 1 oder = +1. Wäre A = — 1, so brauchte man nur eine der neuen Variabeln entgegengesetzt zu nehmen, um sogleich 4=1 zu erhalten. Wir wollen daher fortan 4= 1 annehmen. Sind nun a,b,c,... die ergänzenden Elemente zu «a, ß,7,..., d.h. ist = > mL etc. da’ 98° i

=. >

so folgt At=ax —+by—cz-----, et. Wenn man aber die Transformationsformeln resp. mit @, 8,%,... multipliziert und addiert, so ist vermöge der Bedingungen (1): t=ax-+ By ---, also, wenn 1= 1 vorausgesetzt wird, u=a, b=B, ete., d.h. die ergänzenden Elemente sind den entsprechenden ursprünglichen gleich. Nun ist überhaupt

aataa +... —=4A, ete., aa. —=(, etc.

also a a? +ad” +: =|, etc,

Mag man also die neuen Variabeln in die alten, oder diese in jene verwandeln, beide Verwandlungen sind durchaus ähnlich.

Die Unterschiede der gleichnamigen Werte zweier Lösungen A, B mögen fortan Projektionen ihres Abstandes AB = r heissen. Dann ist in jedem orthogonalen Systeme das Quadrat des Abstandes r gleich der Summe der Quadrate seiner Projektionen, und dieser Satz ist als Definition eines orthogonalen Systems zu betrachten. Dann sind auch orthogonale Transformationen solche lineare Transformationen, durch welche irgend zwei orthogonale Systeme in einander übergehen.

Sind die Anfangslösung 4 und alle rn Projektionen des Abstandes r gegeben, so ist dadurch die Endlösung B völlig bestimmt. Ist aber jene Anfangslösung frei und sind nicht die Projektionen selbst, sondern nur ihre an — 1 Verhältnisse gegeben, so sagen wir, die Richtung des Strahls sei bestimmt und nennen jene Projektionen, bei denen es somit nur auf ihre gegenseitigen Verhältnisse ankommt, die Richtungs- elemente dieses Strahls. Werden sämtliche Projektionen durch den Abstand dividiert, so mögen die Quotienten Richtungscosinus heissen; diese sind also Projektionen eines auf dem Strahle genommenen Abstandes 1.

Wenn zwei Strahlen gleiche Richtung haben, d. h. wenn die Richtungselemente des einen mit denen des andern proportional sind, so mögen sie parallel heissen.

Demnach sind die oben gebrauchten Koeffizienten a, ß, y, .... Im alten Systeme die Richtungscosinus derselben Richtung, welche im neuen Systeme durch die Gleichungen {=t"—=-..—=( bestimmt ist u.s. f, und @&,«@,«a,... sind im neuen Systeme die Richtungseosinus der im alten durch y=z = --- = 0 bestimmten Richtung. Die Gleichung ad +Bß8°—+yy--- = 0 drückt die Orthogonalität der beiden durch £ und f zu bezeichnenden Richtungen aus.

$ 5. Ueber den Winkel zweier Richtungen.

e

Es seien z, y, z,... die Projektionen eines Abstandes » und 2, Y1 21, . . . die- jenigen eines andern r,, so geben die obigen orthogonalen Transformationsformeln:

za, + yy zz th + HH

-

=; MR

Dieser Ausdruck bleibt also in jedem orthogonalen System immer derselbe. Wir setzen daher |

| 2 + yyı 4 22, 4°: =rr, cos w und nennen w den Winkel der Richtungen der beiden Abstände r und r,. Daraus folgt sogleich auch

rr sinw=Y (ey — Yy)? + (az, — 2,2)? + etc.,

wo die unter dem Wurzelzeichen stehende Summe sich auf alle Kombinationen zweiter Klasse erstreckt.

Der Cosinus des Winkels zweier Richtungen ist gleich der Summe der Produkte der gleichnamigen Richtungscosinus.

Zwei Richtungen sind orthogonal, wenn die Summe der Produkte ihrer gleich- namigen Projektionen gleich Null ist.

$ 4. Anwendung der orthogonalen Transformation zum Beweise des Satzes, dass der Strahl der kürzeste Weg sei zwischen zwei

auf ihm befindlichen Lösungen.

Es seien «a, ß, y,... die Richtungscosinus des gegebenen Strahls, so können immer

n — 1 andere Richtungen gefunden werden, welche mit jenem ein orthogonales System

bilden. (Dabei bleiben URN

die ursprünglichen Variabeln x,%, .. in solche £, £,{',..., welche dem neuen System entsprechen, so ist der gegebene Strahl nunmehr dadurch bestimmt, dass nur t variabel bleibt, während f,',... konstante Werte erhalten. Ein Stück desselben ist also durch

das Integral /dt, irgend ein anderer dieselben Lösungen verbindender Weg dagegen

Richtungscosinus frei.) Transformiert man dann

durch das zwischen denselben Grenzen genommene Integral Y dE + di’—+ dt? + ::-- dargestellt. Vergleicht man die Formen beider Integrale, so sieht man unmittelbar,

dass dieses grösser ist als jenes. Also ist auch das Integral | Yaz: —+dy?—--»- ,„ zwischen

zweien gegebenen Grenzlösungen genommen, ein Minimum, wenn die Variabeln lineare Funktionen einer Unabhängigen sind.

S 5. Mass des Paralleloschems.

Das Mass V einer umschlossenen Totalität ist durch das »fache Integral / dxrdydz...

nl ausgedrückt. Hat nun das (n — 1)fache Integral /dydz... einen konstanten, von x unabhängigen Wert A, und sind die auf x bezüglichen Grenzen zwei konstante Werte,

deren Unterschied « ist, so ist offenbar V= a4. Die erste Voraussetzung ist unter anderm erfüllt, wenn eine Grenzgleichung von der Form

Fy—p 2—N,...)=0

gegeben ist, wo pP, 1, .... beliebige Funktionen der einzigen Variabeln & bezeichnen. Es kommen dann nur noch zwei Grenzgleichungen von der Form x = const. hinzu, und das Integral V wird sich auf alle Werte von z erstrecken, welche zwischen diesen zwei Konstanten liegen. Sind insbesondere p, 9, .... lineare Funktionen von z, so wird die durch F=0 bezeichnete Grenze erzeugt durch die Bewegung eines Strahls, welcher stets mit dem durch y=p,2=q..... bestimmten parallel bleibt. Die geschlossene Totalität Y ist dann dem Cylinder der Geometrie zu vergleichen, wo 4 der Basis, a der Höhe entspricht, und der hier angedeutete allgemeine Satz kann symbolisch so ausgesprochen werden: Das Mass eines Cylinders ist gleich dem Produkte seiner Basis und Höhe.

Wenn nun die Grenze des (n — 1)fachen Integrals A (der Basis) wiederum so beschaffen ıst u. s. f., so wird zuletzt V’=.abe... Dann ist x zwischen zwei Konstante, deren Unterschied a, y zwischen zwei lineare Funktionen von z, deren Unterschied D, z zwischen zwei lineare Funktionen von x, , deren Unterschied c u. s. w. eingeschlossen. Die Totalität wird somit zwischen n Paare von parallelen linearen Kontinuen einge- schlossen; sie heisse Paralleloschem. Wir dürfen immerhin annehmen, dass die Gleichungen für die u Anfangsgrenzen durch die Nullwerte sämtlicher Variabeln befriedigt werden. Nehmen wir je na — 1 von diesen linearen Anfangsgleichungen zusammen, so bestimmen sie immer einen Strahl, den wir, durch das weggelassene Paar paralleler linearer Kontinuen begrenzt, Kante des Paralleloschems nennen. Dieses hat im ganzen n. 2”! Kanten; da aber je 2"”' parallel und gleich lang sind, so zerfallen sie in n Gruppen, von denen wir diejenige fixieren, wo die un Kanten vom Ursprung ausgehen. Von den n Gleichungen, von denen je eine durch ıhre Weglassung einer Kante entspricht, ist die erste = U, die zweite ax + Py= 0, die dritte ex — Py--yz=0u.s.f. Lässt man die erste weg, so braucht ım allgemeinen keine Variable zu verschwinden; lässt man die zweite weg, so bleibt x = 0; lässt man die dritte weg, so bleiben =, y:=0; lässt man die vierte weg, so bleiben 2=0, y=0, z=0u.sf., d.h. für die erste Kante verschwindet keine Projektion und ihre erste Projektion ist a; für die zweite Kante ist die erste Projektion o, die zweite b; für die dritte Kante sind die erste und zweite Projektion o, die dritte ce u.s.f. Wenn also die Projektionen der n Kanten in ein quadratförmiges Schema gebracht werden, so befinden sich darin auf der einen Seite der Diagonale lauter Nullen, und V ist gleich dem Produkt der in die Diagonale fallen- den Projektionen, also gleich der Determinante aller Projektionen. Wenn wir nun die Variabeln in ein neues orthogonales System transformieren, so ist die Determinante der alten Projektionen bekanntlich gleich dem Produkt der Determinante der Transformations-

— {I ze

elemente und der Determinante der neuen Projektionen, also (da jene für ein orthogonales neues System gleich 1 ist) gleich dieser. Da aber, wie wir sogleich zeigen werden, für jedes ‚Paralleloschem immer ein orthogonales System von der Beschaffenheit jenes alten gefunden werden kenn, so haben wir den allgemeinen Satz:

Das Mass eines Paralleloschems ist gleich der Determinante der ortho- gonalen Projektionen seiner Kanten.

Die Projektionen der Kanten eines Paralleloschems in irgend einem orthogonalen Systeme seien a,b, c,...;a,V,c,...@,b,c’...; etc. Man soll dieses System in ein neues orthogonales transformieren, zu welchem das Paralleloschem die oben voraus- gesetzte Beziehung hat. Denkt man sich sowohl die Kanten als die neuen Variabeln X, Y,... in einer der oben angenommenen entgegengesetzten Ordnung, so sind die Projektionen im gesuchten System:

Es sei ferner

= aX+«Y+a’Z-+---,

U —BX+BETYT+P'Z-+ ---,

I | 7 2 222222 a=Ar| «=Aa+Ba | "= Aa+Bad+l'a b=4B| b=AB+BP " =A'B+B'B + CP

Durch die Gleichungen der ersten Vertikalreihe sind

Al ee bestimmt. Da das neue System orthogonal sein soll, so liefert die zweite Vertikalreihe A=ae-+dB+---- und, wenn man nun den gefundenen Wert von A substituiert, auch

w — 4’«

B=-Ya@—-A+W— At ,d= nn... Die dritte Vertikalreilie giebt A’=ae+lV’B-+----, B=aW+lUß + ----

und, wenn diese zwei Werte substituiert werden, endlich auch C”,«',ß,.... u. f. Jede im Paralleloschem enthaltene Lösung ist durch die Gleichungen

—=kla+Na Na’ +: -, yaklb-XV NV + .--, etc. dargestellt, wo die unbestimmten Faktoren A, X, 4,... positive, echte Brüche bezeichnen.

u Ye

Wird die Determinante Y= &+.albc'... mit sich selbst multipliziert, so ist das Produkt wiederum gleich einer Determinante, deren Elemente

a@—+1?--0—+.--, ad +lU +ced +, aa +LlV’" +cc” + ..., etc. da+bb+cc+--, a’+b’+c?’—+--, aa +bV +cc” —::--,etc., etc.

sind. Bezeichnet man nun die Kanten des Paralleloschems mit k, X, 1”, ... und die von je zweien gebildeten Winkel mit Z (kl), ---, so ist z.B.

++... =lt, ad—ldV’ +. —=kl cosZ (kl) und man hat

= h? ‚IK cosZ(kk) .kk cos/(kE)..:... Kk cos Z/(kR) . K: ‚KK cos/(kk”).....

—=/(khRk << 1 .cosZ(kK) .cosZ2(kÜ). .... | cos Z (Wk) . 1 ‚cos L(KR”). .... cos /(kK'k).cosZ/(K'k). 1

Das Mass des Paralleloschems ist also das Produkt aller seiner Kanten, multipliziert mit der Quadratwurzel der Determinante, deren allgemeines Element der Cosinus des Winkels ist, den jede Kante mit jeder Kante bildet.

It 7=0, so genügen alle Kanten einer und derselben linearen Gleichung, sie fallen in eine und dieselbe Ebene und umgekehrt. Dann muss also auch die Deter- minante der Cosinus verschwinden. Sind die Winkel, welche n — 1 vom Ursprung aus- gehenden Strahlen mit einander bilden, beliebig gegeben, und es soll ein »ter Strahl in dem durch jene bestimmten linearen Kontinuum liegen, so kennen wir also eine Be- dingung, welcher die an — 1 Winkel, die dieser mit den übrigen Strahlen bildet, genügen müssen. Setzt man n= 4, so passt das Gesagte auf den Fall, wo im Raune vier Strahlen von einem Punkte ausgehen, und die obige Formel liefert uns unmittelbar die Bedingung, welcher die Cosinus der sechs Seiten eines sphärischen Vierecks genügen müssen. Nennen wir drei von einer Ecke ausgehende Seiten a, b, c, ihre Gegenseiten a,b,c, so ist die Bedingung:

0 — 1 .cosa.cosb . cosc —1-— Feos’a--2Fcosa cosb cosc cosa. 1 .cosc .cosb cosb.cosc. 1 .eos«a + 2 cos’ a cos’ a — 2 2 cos a cos a cosbcosb.

! ! cose..cosb.cosa. 1

ae

Fällt man aus einem innerhalb eines Tetraeders befindlichen Punkte Senkrechte auf seine Ebenen, so ist jeder von zwei Senkrechten gebildete Winkel das Supplement eines Flächenwinkels des Tetraeders. Man hat also in der letzten Gleichung auch die Bedingung, durch welche die sechs Flächenwinkel eines Tetraeders verbunden sind.

$ 6. Ueber schiefe Systeme.

Wenn wir die auf das vorige Paralleloschem bezüglichen Bezeichnungen be- halten und te, ya + tt, ete. setzen, so stellen diese Gleichungen eine Lösung dar, zu der man vom Ursprung aus auf einem gebrochenen Wege gelangt, der aus den n Abständen 4, t,t',... zusammen- gesetzt ist, welche resp. mit den Kanten k,%,k’,... des Paralleloschems parallel sind. Denkt man sich die Abstände t, t, t',... variabel, so repräsentieren sie ein schiefes System. Setzen wir jetzt = x’ + y”—+---, so bekommen wir als Abstand irgend einer Lösung (t, t,t,...) vom Ursprung:

r=-YER--P Hi? HH +21 cosZl(kE)-H +2El’cos/ (RE) + Durch die en (n-— 1) Cosinus, welche in diesem Ausdruck für einen Abstand r, dessen

schiefe Projektionen t£, t,',... sind, vorkommen, ist die Beschaffenheit des schiefen Systems völlig bestimmt. Wird der Ursprung festgehalten, so ist die Lage eines schiefen

Systems durch n(n — 1) Data bestimmt, die Lage irgend eines orthogonalen Systems 1 2 des schiefen Systems gleichgültig ist, auf welches orthogonale System dasselbe bezogen werde, so hat man diese Zahl von jener abzuziehen, und es bleiben also wirklich nur

hingegen nur durch — nr (n — 1) Data. Da es nun für die wesentliche Beschaffenheit

—n (n — 1) wesentliche Data für das schiefe System übrig; als solche kann man die

Winkel Z (kl), ..., oder die Koeffizienten der Produkte der Variabeln im Ausdruck für das Quadrat des Abstandes r ansehen.

Das Element der Totalıtät ist im schiefen System ein Paralleloschem, dessen Kanten dt, d!,dt,... mit den Axen k,W,%”,... parallel sind. Bezeichnen wir die Determinante der Cosinus der Winkel Z (kk), Z (kW), ... mit A?, so ist dieses Element

WVV=A.dtdtdt.....

$ 7. Mass der Pyramide. Es ist klar, dass das Integral P= A /dtdt dt’... durch die Bedingungen

> >I.., ++ 4rt<1

>. 6;

völlig begrenzt ist. Wir nennen ein solches von » 4 1 linearen Kontinuen umschlossenes Integral P eme Pyramide. Setzt man t=ku,t=ku, tt! =Kk'W,...., so wird

P=A.kkl.... x fdudu du...

mit den Grenzen u>0, «>0, u" >0,..., ut «+ ww -+---<1l; da das Integral keine Konstanten enthält, so kann es durch ‚f(n) bezeichnet werden. Die vorletzte Integration:

n—i

de du dw"... [| >(0, W >0,..., Wu" Hu" +. .- <1l— u].

Man setze = (l— u)vV, W = (1—ı)v',ete., so wird n—1 n—|1

[au du ...=(1-— u) [ dv dv dv"... [x >0,1"" >0,...‚,r!"-+vV-+--- <]l ] =(1— ) fi — 1);

1 2 n—1 n—1) 1 SW=f@=1.[a-W"" au= PL = z 0 weil SV= [au[a>0,a<ı]l=1 ist. Es ist also RE SE BEE 14 ers... Ti BP RER n

Die Pyramide ist gleich dem Paralleloschem, das mit ihr n von einer Lösung ausgehende Kanten gemein hat, dividiert durch die Permutationszahl

Wir wollen die Aufgabe noch aus einem allgemeineren Gesichtspunkte betrachten. Denken wir uns ein geschlossenes Stück eines linearen Kontinuums, für welches die orthogonale Variable x konstant ist, so können wir sein Mass durch

n—1

S= fdydz... ausdrücken, gleich wie wenn es ein Stück einer (x — l1)fachen Totalıtät wäre. Die Grenze werde durch den Durchschnitt irgend eines höhern Kontinuums gebildet, dessen Gleichung die Form

F(Z, —, ei

habe. Setzt man nun y=zu, z=xwW,...., so wird n—|1 >E ’ 2 . ’ (7) S—a"'fdwWdw'... mit der Grenze F(«,«,..)=V0. Bezeichnen wir mit U den Wert des Integrals [Aw du” ..., welcher offenbar nur durch die Natur der begrenzenden Gleichung F=0 bedingt ist und daher konstant

un. HT

bleibt, wenn auch x variiert, so haben wir S=U.x"-'. Variiert nun x von 0 bis h, so entsteht eine geschlossene Totalität P, begrenzt vom linearen Kontinuum x=h und

vom höhern

ihr Mass ist .

h E P=U| a'de—=U.% 1)

n n

Für <=h werd S=B, so ist B=U.Nl"”' und r= en hB. ”n

Nennen wir nun die geschlossene Totalität P einen Kegel, B seine Basis, den Ursprung Spitze und den orthogonalen Abstand A dieser Spitze vom linearen Kontinuum der Basıs B die Höhe, so haben wir den Satz:

Das Mass eines Kegels ist der nte Teil des Produkts seiner Basis und Höhe.

Setzt man die Basis wieder als Kegel einer (n — 1)fachen Totalität voraus u. s. f., so erhält man den frühern speziellern Satz über das Mass der Pyramide.

1 2

$ 8. Mass der Pyramide, ausgedrückt durch ihre n (n—1) Kanten.

Bezeichnen wir die als Ursprung angenommene Ecke durch o, die übrigen durch 1, 2,...n und die von jenem nach diesen gehenden Kanten durch k,, ka, ... k,, ihre ortho- gonalen Projektionen durch a, b,c,... mit entsprechenden Zeigern, ferner das Quadrat der Kante, welche die mit den Ziffern 4, u bezeichneten Ecken verbindet, durch (Au), so sind die Projektionen dieser Kante

a, — 0, by — bu... , also (Au) = (a, — a) + (Me b,) —+- etc. — k,+k, — 2k,k, cos Z (k,k,); folglich (Au) — (oA) — (ou) = 2k,k, 008 / (k,k,);

und es wird (AA) = o, (Au) = (uk) sein. Betrachten wir nun eine Determinante 2, deren

allgemeines Element (Au) w ist, und wo in jeder Horizontalreihe die Zahl u und in

jeder Vertikalreihe die Zahl A die Werte 0, 1,2, 3,...n durchläuft und subtrahieren zuerst

die Elemente der Horizontalreihe (A = 0) von den‘ entsprechenden Elementen aller übrigen

Horizontalreihen, so wird in diesen das allgemeine Element (Au) — (ou). Subtrahieren

wir ferner die Elemente der Vertikalreihe (x = 0) von den entsprechenden Elementen aller 8

au, PO

übrigen Vertikalreihen, so wird in diesen das allgemeine Element (Au) — (ou) — ((A0) — (00)) = (Au) — (oA) — (o(u)= — 2h,hk, cos Z (R,/i,), und » bleibt nur in dem Element (A = o, u = 0) noch übrig. Also ist 2 eine lineare Funktion von w, in welcher der Koeffizient

von w gleich =

- (- 9 7°

ist, wenn V?, wie früher, die Determinante der Elemente kl, cos Z (k,h wo sowohl A als « die Werte 0, 1,2,3,...n durchläuft. Also ist

:) bezeichnet,

ru

SI 0 aa Peer, dm ’ ung en er I

Für u = 3 findet man

P=—— Vz[eon -+ (23) || — (01) (23) +- (02) (13) + (03) (12) ] — & (12) (23) (13).

Wird dieser Ausdruck gleich Null gesetzt, so hat man die Relation, durch welche die Quadrate der sechs Seiten eines Vierecks verbunden sind. Für n = 4 ist

— 2 2:(01) (12) (23) (30) + Z (01) (12) (23) (34) |

1 Fe (Die unter das Summenzeichen gesetzten Ziffern geben die Zahl der Glieder an, welche jede Summe enthält.) Das Verschwinden dieses letzten Ausdrucks ist die Relation zwischen den Quadraten der zehn Entfernungen von fünf beliebigen Punkten im Raume.

Sind für ein beliebiges n alle - n (n— 1) Kanten der Pyramide der Einheit

gleich, so ist

$ 9. Anwendung von $ 6 auf die Verwandlung vielfacher Integrale.

Es sei T eine Funktion der n Variabeln x, y,2,... und S —f Tdxdydz.... Man soll dasselbe Integral durch die n neuen Variabeln t, t,t' ... ausdrücken, wenn x, y,.. als unter sich unabhängige Funktionen derselben gegeben sind.

Fassen wir x, y,... als Variabeln eines orthogonalen Systems auf, so ist das Produkt dxdy... das Element einer von den Integrationsgrenzen umschlossenen Totalıtät. Wird jedes solche Element mit dem der betreffenden Lösung entsprechenden Werte der Funktion 7 multipliziert und die Summe aller innerhalb des gegebenen Kontinuunis

fallenden Produkte genommen, so hat man das Integral 5. Wenn nun die Incremente von T innerhalb der gegebenen Grenzen überall von derselben Ordnung sind, wie die unendlich kleinen Abstände je zweier Lösungen, so steht es offenbar frei, das gegebene Stück der Totalität in Elemente von anderer Form einzuteilen, das Mass eines jeden mit 7 zu multiplizieren und die Summe aller dieser Produkte zu nehmen. Da der Fehler jedes Produkts von einer höhern Ordnung ist als das Mass des Elements, so wird der Fehler der Summe von einer verschwindend kleinen Ordnung sein und daher das neue Integral mit 5 zusammenfallen. Wird nun das gegebene Stück der Totalität durch Kontinuen, welche den Gleichungen t = const., E = const., t" = const., ... ent- sprechen, in Elemente zerschnitten, so ist ein solches Element ein schiefes Paralleloschem,

dessen erste Kante die Projektionen e dt, N di,..., die zweite die Projektionen . dt, dt ..., us. f. hat. Sein Mass ist also

(s+ dr 9y 8: --—— 91 If 9

wo die Summe die Determinante der partiellen Differentialkoeffizienten bedeutet. Das Integral verwandelt sich demnach in

ea re) dtdt dt‘...

) x dtat dt ...,

S 10. Ueber Polyscheme.

n

Wenn das nfache Integral f dzdydz... durch lauter Gleichungen ersten Grades vollständig begrenzt wird, so dass keine der Gleichungen bei der Begrenzung als über- flüssig erscheint, so nennen wir die geschlossene Totalität, deren Mass jenes Integral ist, ein Polyschem P,. Seine Grenzkontinua sind durch jene linearen Gleichungen dargestellt und ihre Zahl kann nicht kleiner als n —-1 sein. Fixieren wir eines dieser Grenzkontinua, so erscheint es uns, wenn wir nur die in ihm befindlichen Lösungen betrachten, welche zugleich innerhalb jenes Integrals hegen, als ein geschlossenes lineares Kontinuum. Wir können dann das ursprüngliche System immer so orthogonal trans- formieren, dass eine neue Variable in der ganzen Ausdehnung dieses linearen Kontinuums verschwindet. Mehrere jener ursprünglichen Grenzgleichungen, deren Zahl wenigstens n betragen muss, werden dann in ihrer transformierten (offenbar wieder linearen) Gestalt, wo sie nur die an — 1 übrigen neuen Variabeln enthalten werden, zur Umschliessung des fixierten Grenzkontinuums dienen. Da eine Variable nun ganz aus der Betrachtung wegfällt, so ist alles wieder so, wie in einer Totalität, aber einer bloss (n — 1)fachen; das geschlossene Grenzkontinuum hat ein dem ursprünglichen ähnliches Integral, das aber nur (n — I)fach ist, zum Mass; innerhalb der von den (n — 1) übrigen neuen

— 0 —

Variabeln gebildeten Totalität ist es daher auch ein Polyschem P,-,. Das gegebene P, ıst also wenigstens von n--1 P,-, umschlossen, jedes von diesen wenigstens von n P,-s u. Ss. f. Im allgemeinen sclıneiden sich drei P,_,, als unbegrenzte lineare Kontinua aufgefasst, erst in einem (n — S)fachen, linearen Kontinuum, und wenn sie sich schon in einem (n — 2)fachen linearen Kontinuum schneiden, so sind ihre Gleichungen nicht mehr unabhängig von einander. Tritt ein solcher spezieller Fall ein, so können doch nicht alle drei (oder mehrere) P,_,, als begrenzte Gebilde aufgefasst, das fragliche P,_, in seiner ganzen Ausdehnung gemein haben; wir zerlegen es dann in Stücke, deren jedes in seiner ganzen Ausdehnung immer nur zweien nachbarlichen P,-, gemein ist.

Wir wollen daher durchweg annehmen, dass ein im Umschluss des P, vorkommen- des P,-z Immer nur zweien P,-, und dann in seiner ganzen Ausdehnung gemeinschaftlich sei; hingegen zugeben, dass ein P,_, nicht nur wenigstens dreien, sondern auch mehreren nachbarlichen P,-, gemein sein könne: ein P,-, wenigstens vieren oder auch mehreren ne US

Wenn keine zwei der P,-, aus denen der Umschluss eines P,„ besteht, sich schneiden, und dasselbe doch eine einzige zusammenhängende Totalität bildet, so nennen wir es nicht überschlagenes Polyschem, im entgegengesetzten: Falle ein über- schlagenes. Wenn keine innerhalb des gegebenen Polyschems befindliche Lösung dem verlängerten Kontinuum eines seiner Grenz-P,_, angehört, d. h. wenn für sämtliche innerhalb des Polyschems fallende Lösungen das Polynom einer jeden Grenzgleichung iınmer dasselbe Vorzeichen behält, wenn z. B. alle Polynome stets positiv bleiben, so ist das Polyschem konvex. Durch eine innere Lösung sei ein unbegrenzter Strahl gezogen, so kann auf diesem die Lösung nur nach den zwei entgegengesetzten Richtungen sich fortbewegen; man denke sich die Werte der Lösung fortwährend in den Polynomen aller Grenzgleichungen substituiert. In demselben Augenblicke nun, wo der Wert eines einzigen dieser Polynome ein entgegengesetztes Vorzeichen angenommen hat, ist auch die bewegte Lösung ausserhalb des Polyschems getreten. Das Gleiche gilt für die Bewegung in der entgegengesetzten Richtung. Folglich kann der Umschluss eines konvexen Polyschems von einem Stralıl in nicht melır als zwei Lösungen geschnitten werden.

Wird der Umschluss eines Polyschems P,, ohne eines der P,-, zu zerbrechen, so in zwei Teile geteilt, dass jeder ein einziges gebrochenes (» — 1)faches Kontinuum bildet, so soll jeder dieser Teile eine offene polyschematische Figur heissen.

Satz. Wenn unter der Voraussetzung einer nfachen Totalität in einem Polyschem oder einer offenen polyschematischen Figur die Zahl der Grenz- lösungen mita,, die der Grenzstrahlen mita,, überhaupt die Zahl der ifachen polyschematisch geschlossenen linearen Grenzkontinuen P; mita, bezeichnet wird, und ist endlich a„= 1, wenn ein geschlossenes Polyschem, «„=0, wenn eine offene polyschematische Figur vorliegt, so ist

=1 ae = Eu U Sl Pe = (— 1)" Adn-1 7 re 1)7 Ad. = 1.

rg

zu... Di. u

Beweis. Ich nehme an, der Satz sei für die (u— 1)fache Totalität schon bewiesen, und bezeichne in der nfachen Totalität für irgend eine offene polyschematische Figur die linke Seite der fraglichen Gleichung mit A,. Wird nun dieser Figur ein neues P,-, angefügt, ohne dass sie dadurch zu einem geschlossenen Polyschem wird, so ist die diesem ganzen geschlossenen P,-, entsprechende Zahl A,-, nach der Voraus- setzung gleich 1. Es hat aber mit der anfänglichen Figur eine derselben (n — 1)fachen Totalität angehörende, offene polyschematische Figur gemein, deren Zahl 4A,_-, ebenfalls gleich 1 ist. Da diese zweite Zahl A,_, schon in der anfänglichen Zahl A, enthalten ist, so muss sie, bei der Berechnung des Zuwachses von A,, von der ersten Zahl A,„-ı abgezogen werden; der Rest ist 0. Die Zahl a, ist auch jetzt noch 0 wie vorher. Die anfängliche Zahl A, hat also durch das Anfügen eines neuen P,-, keine Veränderung erfahren. Ist hingegen die anfänglich offene Figur so beschaffen, dass sie durch das Anfügen eines neuen P,-, zu einem geschlossenen Polyschem wird, so verändern sich die Zahlen a, (y, (ia, »-. Ay nicht, die Zahl «,_, wächst um 1, und die Zahl «a, geht aus 0 in 1 über. Da aber die Zahlen a,_, und «a, in dem fraglichen Ausdruck mit entgegengesetzten Vorzeichen versehen sind, so wird auch in diesem Falle der Wert A, dieses Ausdruckes nicht geändert. Nehmen wir nun nach und nach ein P,-, nach dem andern weg, so dass immer eine offene polyschematische Figur übrig bleibt, so wird diese zuletzt aus einem einzigen P,-, bestehen, und, da ohnehin a, = 0 ist, so wird das entsprechende A, gleich sein der Zahl A,-, dieses einzigen P,-., also nach der Voraussetzung gleich 1. Nun ist für n=1 das P, ein begrenzter Strahl, also “=2, ,=1; folglich 4A, =w— a, =1. Der Satz ist somit bewiesen.

S$S 11. Berechnung des Masses eines Polyschems.

Durch ein (n — 2)faches lineares Kontinuum und eine ausserhalb desselben be- findliche Lösung kann immer ein (n — 1)faches lineares Kontinuum, und zwar nur eines, gelegt werden. Denn, wenn jenes durch die zwei simultanen Gleichungen = 0, v=(, wo u, v lineare Funktionen der Variabeln bedeuten, bestimmt ist, so ist jedes durch- gehende (n — 1)fache lineare Kontinuum in der Gleichung w-+-Av=0, wo A einen willkürlichen Faktor bezeichnet, enthalten. Soll es aber durch die gegebene Lösung gehen und erhalten für diese die Funktionen «, v resp. die bestimmten Werte p, q, so muss auch p-:-Aq=0 sein. Hiedurch ist A bestimmt, und man hat gu — pv = 0 als Gleichung des verlangten linearen Kontinuums.

Denken wir uns nun das gegebene Polyschem P, als konvex, wählen innerhalb desselben eine beliebige Lösung und fixieren dann irgend ein P,_, des Umschlusses, so ist auch dieses wieder von vielen P,_, umschlossen, und wir legen durch jedes derselben und jene innere Lösung ein lineares Kontinuum; dann erhalten wir einen polyschema- tischen Kegel, welcher die Lösung zur Spitze und jenes fixierte P,_, zur Basis hat.

I PEN en et

Wird das Polynom der Gleichung dieser Basis für jene Lösung ausgewertet und durch die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Koeffizienten der Variabeln dividiert, so hat man die Höhe des Kegels gefunden. Kennt man ferner das Mass der Basis P,-', multipliziert es mit der Höhe und dividiert durch n, so hat man das Mass des Kegels. Da endlich das gegebene Polyschem P, in lauter solche Kegel zerfällt, so ist sein Mass gleich der Summe der Masse aller dieser Kegel.

Wie die Aufgabe, ein P, zu berechnen, auf die für ein P,_, zurückgeführt ist, so hängt auch diese wieder von der Berechnung eines ?,_, ab u.s. f. Zuletzt hängt alles von der Berechnung eines P, oder eines Abstandes ab. Die Berechnung der Höhen und die ortliogonalen Transformationen, welche jeweilen zur Wegschaffung einer Variabeln, deren Verschwinden einer Basis entsprechen soll, gemacht werden müssen, erfordern immer eine Ausziehung der Quadratwurzel aus einer Sunme von Quadraten, während der Natur der Aufgabe nur rationale Rechnungen wesentlich eignen.

Die Zalıl der zu berechnenden Kegel wird geringer, wenn man eine Grenzlösung des P,„ zu ihrer gemeinschaftlichen Spitze wählt. Nehmen wir nun an, jede Basis P,-, sei schon in lauter Pyramiden (x""') zerteilt, so ist jede von diesen die Basis einer Pyramide (x”), welche jene Grenzlösung zur Spitze hat. Wenn man also über- haupt ein P,-, in lauter Pyramiden zerlegen kann, so ist dieses auch für jedes P, möglich. Nun kann man aber jedes P, oder Vieleck in lauter Pyramiden (x?) oder Dreiecke zerlegen, folglich kann auch jedes Polyschem (®*) in lauter Pyramiden (o0*) zerlegt werden. Das Mass einer solchen ist der 1.2.3...nte Teil der Determinante der Projektionen von n ihrer Kanten, die von einer und derselben Ecke ausgchen. Hiedurch ist also die Berechnung des Masses eines Polyschems auf lauter rationale Rechnungen zurückgeführt.

$ 12. DÜUeber die Projektionen eines linearen mfachen Kontinuums, wenn m

zwischen 1 und n legt.

Da das Kontinuum in paralleloschematische Elemente zerlegt werden kann, so wollen wir das Mass S eines Paralleloschems (®©”) untersuchen, wenn m geringer ist als die Dimensionszahl n der Totalıtät. Transformieren wir die Variabeln orthogonal, so dass für das gegebene Kontinuum n» — m der neuen Variabeln verschwinden, so haben wir es bei der Berechnung des Paralleloschems (®©”) nur mit den übrigen ın Variabeln zu tun. Es gilt also der frühere Satz ($ 5), wenn darin m statt n gesetzt wird. Sind nun Äy, fig, .... Zi. die Kanten des Paralleloschems „, so ist

N hi A COS ZA) CZ he) w ! li, I, cos £ (3 k,) 5 ki . hi; hi cos Z (I, l,) BE

93 —_ Sind nun a,, d, €, -.- die n Projektionen von k, im ursprünglichen System, so haben wir früher gesehen, dass

kk,cos/(kk)= a, +bb, +: --

ist. Bezeichnen jetzt f, 9, h,.... irgend m der n Projektionen a,b, c,...., so ist nach einem bekannten Satze:

v2 Asus .... Sr N wenn die Summe sich auf alle Kombinationen /gh... ohne Wiederholungen und ter Klasse aus den n Elementen a, b, c,... erstreckt. Jede der (7) Determinanten, aus deren Quadraten diese Summe besteht, nennen wir eine Projektion von S auf das ent- sprechende sifache lineare Kontinuum, für welches alle n— m mit f, 9, h,.... nicht- gleichnamigen ursprünglichen Variabeln verschwinden. Es ist sogleich klar, dass, wenn wir nur die Längen Äk,,%,,...k.„ der Kanten, aber nicht ihre Richtungen ändern,

sämtliche Projektionen mit S proportional sich verändern werden. Betrachten wir nun wieder das beliebig umschlossene »ifache lineare Kontinuum und teilen dasselbe durch Scharen paralleler (m — 1)facher linearer Kontinuen in un-

endlich kleine Paralleloscheme (00”) dS, deren jedes die (7) Projektionen dP,dP',dP",...

sind konstant. Wenn also S das Mass des »fachen Kontinuums, P, P', P”,.... seine Projektionen bezeichnen, so ist

S®—= P?-ı P?--P'?’-L...., d. h. das Mass irgend eines geschlossenen linearen mfachen Kontinuums ist

gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner (7) Projektionen.

Wenn 1<m<n-—1 ist, so sind die ) Projektionen nicht unter sich unab-

hängig. Man kann nämlich die Gleichungen des linearen mfachen Kontinuums immer so darstellen, dass n — m Variabeln als lineare Funktionen der » übrigen erscheinen. In jeder von diesen sind » Koeffizienten der Variabeln und noch eine freie Konstante gegeben; die letzte zählen wir nicht, als ohne Einfluss auf die Richtung des mfachen Kontinuums. Diese Richtung wird also im ganzen durch (n — m) m Data hinreichend bestimmt. Setzen wir jetzt Projektionen, so kommt ausser der Richtung noch das Mass

des projizierten Kontinuums als neues Datum hinzu. Also sind unter den (7) Pro-

jektionen nur n— m)m—+-1 unter sich unabhängig, alle übrigen aber sind durch diese bestimmt.

Die zwei angeführten Zahlen ändern sich nicht, wenn man m mit n — m vertauscht;

® .. == 1 . wir dürfen also m» <-;- n voraussetzen. Betrachten wir nun den Bruch N n—1 n— 2 n—3 n—m-+i1 “ ——— ® —,—,— ® =— 1: 0 ı ee 2» ® ———— — DE —— N)

3m n—m 3 4 m so sind seine Faktoren

N | n—|1 1 n— 2 n—-m+1 2m in n—m 2 3

. er n—1 ; z TE der Bruch ist also grösser als ann und, wenn wir mit (na — m) m multiplizieren,

(an) > (an — Dmn=(n—m)m-+m(m—]),

m

also, da m > 1 vorausgesetzt ist, auch (.) > (n— m)m—+1.

(Für m=1 oder w =n—1 hingegen wird jede der zwei hier verglichenen Zahlen gleich n. Also kann erst für n>4 der Fall eintreten, dass nicht alle Projektionen unter sich unabhängig sind.)

Es seien nun a, b, c,...e die Zeichen für irgend m--1 Projektionen einer Kante % jenes mfachen Paralleloschems; f, 9, I, .... die Zeichen für » — 1 Projektionen derselben Kante; nur darf die Kombination (m — 1)ter Klasse, f, y, ..., weder eine aus den Elementen D, c, ....e gebildete sein, noch das Element a enthalten. Dann sei die Determinante

a.b .Cc.....0 —=auaA--bB-eÜ! ..-—ceE, a,.bi .c e an Dt em

wo a,d,c,...e willkürliche Grössen bezeichnen, während die mit Zeigern versehenen Buchstaben gegebene Projektionen von Kanten bedeuten; es wird also sein;

aA+-bLB+aC+-- te E=0(, 4,A-lbB--,UÜ--:..--+8E=(,

Ferner sei

En

Man sieht nun leicht, mit welchen Faktoren man die m Gleichungen des vorigen Systems multiplizieren muss, um die Gleichung

AA+BB+eC+.- —-CE=0

zu erhalten, welche eine der gesuchten Relationen zwischen den (%) Projektionen von

S darstellt. Wir wollen nun diese Relationen so zu ordnen suchen, dass es klar wird, wie viele Projektionen P unabhängig sind, und wie alle übrigen aus diesen berechnet werden können.

Lassen wir vorerst die von den mit a bezeichneten Elementen abhängigen Pro- jektionen P weg und denken uns die wesentlichen Relationen zwischen den übrigen schon aufgestellt und mittelst derselben diese alle berechnet. Denken wir uns nun B,C,.... E, an Zahl m Projektionen (mit a) willkürlich gegeben und bilden dann aus den u — 1 Elementen db, c,.... alle Kombinationen (m — 1)ter Klasse, f,g,h...., mit Aus- schluss der aus den m Elementen b, c,...e zu bildenden, so sind die entsprechenden A durch obige Relation immer in Funktion der m unabhängigen B, C',.... E gegeben. Alle

jene YX, mit diesen B,(,... E zusammen, sind aber sämtliche zZ 1) Determinanten,

worin der Buchstabe a vorkommt, und unter diesen sind also höchstens m unabhängige. Ebenso kann man zeigen, dass unter allen Determinanten, worin a fehlt, aber b vor- kommt, höchstens m unabhängige sind; ebenso unter denen, worin a, b fehlen, aber c vorkommt u. s. f£ Endlich gelangen wir zu den Determinanten, worin de n—m—1 ersten Buchstaben fehlen und der (n — m)te vorkommt; ihre Zahl ist offenbar m. Zuletzt ist noch eine Deserminante, diejenige, worin die m letzten Buchstaben vorkommen, übrig. Wir bekommen so offenbar höchstens (n — m) m — 1 unabhängige Projektionen. Der Natur der Sache nach müssen aber gerade so viele sein, wie wir vorhin gesehen haben. Folglich haben wir auch alle wesentlichen Relationen aufgezählt.

Sind (7) Projektionen, welche diesen Relationen genügen, beliebig gegeben, so

ist es leicht, die n — m Gleichungen eines entsprechenden linearen Kontinuums zu finden, das z. B. durch den Ursprung gehen möge. Es seien z, y,... z die m ersten Variabeln, 4,vd,W,... die übrigen und

weg +8,8y+ +0, vafz +fy tr --Im2, etc. die a — m gesuchten Gleichungen des linearen Kontinuums. Dann sind die in dem Schema

1 Nee er | 0120

. 121 1282 8 8 [Tr Tr Tr IT Tr I LE I

1 000 er a

n

enthaltenen (7) Determinanten den Projektionen des Kontinuums proportional. Da nun

4

__ 6 —

die Verhältnisse dieser gegeben sind und unter jenen (n — ») m-+-1 sich finden, denen

die Werte 1.0, Us far u. 0.0. : RR PREES

zukommen, so sind diese Werte bekannt.

$ 13. Mass eines mfachen höheren Kontinuums.

Die n Variabeln x, y, 2, ... eines orthogonalen Systems seien in Funktion von m unabhängigen Variabeln t,t,£',... gegeben. Wenn durch keine Transformation dieser unabhängigen Variabeln jene x, y, 2,... als lineare Funktionen erscheinen, so nennen wir das durch die n Gleichungen dargestellte mfache Kontinuum ein höheres. Es wird durch »m Scharen von (nm — 1)fachen Kontinuen, welche den Gleichungen t — const., f = const., f' = const. ete. entsprechen, in paralleloschematische Elemente zerschnitten. Die Kante, welche der Variation des einzigen t entspricht, hat die Projektionen

Ix dy dx

a dt, 9 dt, 9; Maas u.s.f. Das Mass des Elements wird also erhalten, wenn man die Quadratwurzel aus aus der Summe der Quadrate der ()) in dem Schema | ÖL SUR Me; BERNER

enthaltenen Determinanten mit dt dt dt"... multipliziert. Integriert man endlich dieses Produkt innerhalb der gegebenen Grenzen, so erhält man das Mass des geschlossenen höheren Kontinuums.

Man kann die Gleichungen des Kontinuums so transformieren, dass die »n ersten Variabeln =, y,... z als unabhängige und die an — m übrigen «,v, w,.... als Funktionen

jener erscheinen. Das vorige Schema erscheint dann in folgender einfacheren Gestalt:

1:0-0- re Oo In Iv dw |

En . dy 9y 0y |

1b ee

Ist m = 2, so wird

a 2 GPRT To Be a s= JYı+(6%) nn +) a ete.-1 (4 en u a a) + ete. dedy

das Mass des Kontinuums. Ist » = n — 1 und sind x, y, ... z die unabhängigen, u die letzte und einzige abhängige Variable, so wird

Sc TYır( =; +(ör a “a des

das Mass des Kontinuums.

$ 14. Orthogonale Transformation der Projektionen eines linearen Kontinuums.

Was in Beziehung auf Verhältnisse der Projektionen für ein paralleloschematisches Stück eines mfachen linearen Kontinuums gilt, ist auch auf ein beliebig umschlossenes Stück desselben auszudehnen. Wir denken uns daher ein Paralleloschem, dessen Kanten die Projektionen

| 0.0. re

versehen, mit den Nummern 1, 2, 3,... »» der Kanten als untern Zeigern haben. Es sei ab...c irgend eine Kombination ter Klasse aus den n Elementen a, b,.....,d,&,.f,.-.; so entspricht denselben die Kontinuumsprojektion

P=2Zta Diddl

Die orthogonalen Transformationsformeln seien nun =et-at!+al+:---, y=ßt+-Bt Hit’ ----,

. 0... 8 08 8 Tr Fr Tr Tr rk rd Tr LT TB FL — Gi ee

m’

... 0) 08 7 018 LT LT T LT TI LT ET TT EL oo

Die Projektionen der Kanten des mfachen Paralleloschems im neuen Systeme seien

h,W,hk',..., versehen mit den untern Zeigern 1,2,... m, entsprechend den Nummern der Kanten. Dann ist rel, 20 4.3466 Me al =), I 0 EEE 0 EUR OR

welches Schema eine Determinante bedeutet, deren allgemeines Element die Summe der Produkte der gleichaccentigen Glieder irgend einer Horizontalreihe links und irgend einer rechts vom mittleren Vertikalstrich ıst. Es ist bekannt, dass diese Determinante

gleich ist der Summe der (7) Produkte von je zwei homologen Determinanten, welche

jedes der beiden durch den mittleren Vertikalstrich geschiedenen Schemate liefert. Die Determinanten, welche das Schema rechts liefert, sind aber die Projektionen des m- fachen Paralleloschems im neuen System, und die homologe Determinante im Schema links ist der Faktor, mit dem man das mfache lineare Kontinuum (t# .. .), auf welches diese einzelne Projektion gefällt wurde, und dem sie angehört, multiplizieren muss, um seine Projektion auf das axiale Kontinuum (xy ...z) des ursprünglichen Systems (xy...zuvw...) zu erhalten. Man kann daher die Transformation auch so darstellen.

Im ursprünglichen System (xy... zuwvw...) wird ein durch die m Variabeln (xy ...z) bestimmtes axiales Kontinuum fixiert. Im neuen System (tft...) denkt man sich alle axialen mfachen Kontinua und projiziert auf diese das gegebene geschlossene lineare mfache Kontinuum S; dann werden alle diese Projektionen wiederum auf das fixierte ursprüngliche axiale Kontinuum (xy ...z) projiziert; die Summe dieser letzten Projektionen wird gleich sein der Projektion von 8.

Irgend eine aus der linken Hälfte des obigen Schemas entnommene Determinante kann auch aufgefasst werden als Projektion eines Stückes des axialen Kontinuums (z2y...2z) vom Masse 1 auf das mit der Determinante homologe axiale Kontinuum des neuen Systems. Ersetzen wir das Mass 1 durch 7, so haben wir nach dieser Auf- fassung folgenden Satz:

Wennin der nfachen Totalität ein orthogonales Axensystem und irgend zwei lineare mfache Kontinua S und T gegeben sind, so ist die Projektion von S auf 7, multipliziert mit T, gleich der Summe der Pro- dukte der Projektionen von $ und T auf je eines und dasselbe axiale mfache Kontinuum des orthogonalen Systems.

Es ist also klar, dass man im Subjekte dieses Satzes auch S und 7’ vertauschen darf, ferner, dass der Wert des Prädikats vom gewählten orthogonalen System unab- hängig ist. Wir können ihn daher mit ST' cos Z (ST) bezeichnen.

Wir wollen noch die Beziehung eines ‘linearen mfachen Kontinuums S zu einem schiefen System betrachten. Fixieren wir ın diesem irgend ein axiales mfaches Kon- tinuum (,, um S darauf zu projizieren, so müssen wir in allen Lösungen von S die Werte der n — m Variabeln, welche in (, verschwinden, durch Null ersetzen. Das ge- schlossene in C, fallende Kontinuum aller so veränderten Lösungen ist die Projektion P, von S auf G,. Es ist sogleich klar, dass der Wert von P, nur von den Richtungen der n— m nicht in ©, fallenden Axen des schiefen Systems, aber nicht von den m Axen, durch welche C, gelegt ist, abhängt. Nehmen wir Sals mfaches Paralleloschem

9 —

an und bilden die Determinante D, der Projektionen seiner Kanten auf die in (\ lie- genden Axen, ferner die Determinante ®,, der Kosinus der Winkel, welche jede dieser nn Axen mit jeder bildet, so ist A =D, YO,,. Es sei (, ein anderes axiales ın- faches Kontinuum des schiefen Systems, P, = D, Y9,,, und ©,, die Determinante der Kosinus der Winkel, welche jede der Axen von C, mit jeder von C, bildet, so ist

S’=-D: 9, -+ D02.-+...+2D,D09.-+ . ..+2D,D O4 +... 8 = PI-H-P;+..:+2 PP —— -+., Pre +2PP are" welche Summe + (+)! (+) +1 Glieder zählt. Aus dem für ein orthogonales System Gesagten ist klar, dass 9, = Y9u : VO, - cos Z (C, 6) ist. Man kann also setzen: S’=Pi+Pji+...-+-2PPReosZ/(GC)-+... Man bemerke die vollständige Analogie dieser Formel mit derjenigen für einen Abstand im schiefen System. Sind &,, ßı» Yu -.. die n Richtungskosinus der ersten Axe in C,, u.s.f. mit den unteren Zeigern 1, 2,.. m, ferner a’, 8’, y,... (mit den unteren Zeigern 1, 2,... m) die m Gruppen von je rn Richtungskosinus der Axen in C, (alle Richtungskosinus beziehen sich auf ein orthogonales System), so ist

[} .,

Yla-A-n-.--|a-A-n...-|xYlo-Ropioe. | e. > |KeoszlaC) Bu Des Iris Os ren n.f: Yı-..:|n.f- PM... ERROR RE 0 RR, RR > 1735, PR. ER > OEL RFEEN

_Iı-Ah.n--.|a.A-Yı...-

Ges Pa - Ya: u: Br. 9 -:-.

Bar eh ea S$ 15. Ueber das Verhalten linearer Kontinua zu einander.

Sind in der nfachen Totalität zwei lineare Kontinua, ein mfaches und ein m- faches, gegeben, so hat man im ganzen 2 n — (m + m‘) Gleichungen; die beiden Kontinua werden also im allgemeinen nur dann sich schneiden, wenn m + m >n ist. Ist z. B. m m’ = n, so haben sie im allgemeinen nur eine Lösung gemein, einen Strahl, wenn m+m =n-1,u.sf. Wenn dagegn m -+m’<n ist, so können im allgemeinen die beiden Kontinua keine Lösung gemein haben. Handelt es sich nur um die Ver-

gleichung ihrer lichtungen, und legt man daher mit jedem derselben ein Kontinuum parallel durch den Ursprung, so bestimmen diese zusammen ein (m+m’)faches Konti- nuum. Man kann das System orthogonal transformieren, sodass n — (m + m) neue Variabeln für dieses lineare Kontinuum verschwinden, und dann dieses wie eine (m--ın )- fache Totalität betrachten, in welcher jenes mfache und ınfache lineare Kontinuum ge- geben sind. Der Fall m + m <n ist somit auf den Fall m + m = n zurückgeführt.

Um der ferneren Erörterung dieses Gegenstandes die gehörige Deutlichkeit geben zu können, muss ich den Begriff normaler Kontinuen einführen. Sind x, y,... die Projektionen eines dem fachen linearen Kontinuum (’ angehörenden Strahls », und %, Y,... diejenigen irgend eines Strahls »”, für welchen zu’ +yy +../=0 ist, bleibt ferner die Lage des ersten Strahls »” innerhalb des Kontinuums C völlig frei, so sind sämtliche vom Ursprung ausgehende Strahlen ” in einem (n — m)fachen linearen Kontinuum C enthalten. Nun, zwei solche Kontinuen C und €” nenne ich normal.

Sind &,, %,,...t,„ die Variabeln eines beliebigen in C angenommenen schiefen Systenss, und demgemäss

zen + bo Hr... 0, Em yapı a u; 0 a etc.

die orthogonalen Projektionen eines Strahls », dessen schiefe £,, £,,... t„ sind, so ver- wandelt sich die obige Bedingung z& + yy +... = 0 für den Strahl »" in tg, tt... +, WE BE ih +t-- ah) yY-+t... =0 und zerfällt, da 4, %,,.... t„ frei bleiben sollen, in die m Gleichungen cc +ßy+...=0,i=123,3...m).

Diese stellen ein (n — m)faches lineares Kontinuum (“ dar, welches wir das normale nennen. Ich behaupte nun, dass, wenn (, C’ als geschlossen gedacht werden, die Pro- jektionen des einen mit denen des andern proportional sind. Um dieses zu

beweisen, teile ich die n Variabeln x, y,... in zwei Gruppen, von denen die eine aus den m Variabeln &,y,...z2,w, die andere aus den n — m Variabeln vV, w,...p,q besteht.

Eliminiert man nun aus den m Gleichungen (sea +ßy+t... +42: +dwWtev +...+6pP +ng =0,e =1,2,... m] die m — 1 ersten Variabeln &,y',...z, so wird man die Gleichung

er: B---: N Gu travt...+&pP ty dg) BAR Bo. Yu te, V tt... +&p +1)

em: Br: Im tt... +5 + rm) oder Aw--EvVU-+...Zp-+- Hy =QV

= SI

erhalten. Es seien n — m unter sich unabhängige Lösungen des Systems (a), nämlich way = ßo.. (k=m+1l,m+2,...n — 1,n] bekannt, so ist auch

Im I4+ nn Et... 4 on Zt mar AH = 0,

I Atom E-+. . .+ 52 Zt Yayı H= 0,

d 4+e, E+...+-U Z+,. H= Folglich sind die mfachen Determinanten 4, E,... H proportional mit den (n — m)- fachen, welche aus den Koeffizienten d, &,...» der un — m letzten Gleichungen gebildet werden können; .B.1=”S + ß,.-. Ya-ı Om ist proportional mit I + &,4, Smte: - - n-ı Zu, U.8.f. Die Zahl der proportionalen Glieder in jeder der beiden Reihen ist hier freilich nur n — m + 1; aber, wie man leicht sieht, kann man sie bis auf (7) bringen, wenn man nach und nach immer andere Gruppen von je m — 1 Variabeln aus dem System (a) eliminiert. Den soeben gefundenen Satz kann man nun so aussprechen:

Wenn im Schema einer nfachen Determinante die Kombination jeder

der m ersten Horizontalzeilen mit jeder der n — m letzten eine verschwin- dende Produktensumme liefert, z. B.

. 12,3... + Bß +... +5 ot N > 0 Ve ’

so sind die aus den Elementen der mn ersten Horizontalzeilen gebildeten mfachen Determinanten proportional mit ihren reciproken (n — ım)fachen Determinanten, deren Elemente in den n — m letzten Horizontalzeilen enthalten sind.

Da nun die mfachen Determinanten den Projektionen des Kontinuums (C, die reci- proken (n — m)fachen Determinanten den Projektionen des normalen Kontinuums C" entsprechen, so ist der oben behauptete Satz bewiesen.

Für ein System orthogonaler Transformationselemente ist jede partielle Deter- minante ihrer reciproken (oder ergänzenden) Determinante geradezu gleich. Dies folgt aus der in $ 2 erwähnten Eigenschaft dieses Systems, vermöge welcher jedes ur- sprüngliche Element seinem reciproken Elemente (einer (n — 1)fachen Determinante) gleich ist. Da man die Axen t, t,,...t„ des Kontinnums C orthogonal annehmen kann, und ebenso diejenigen des normalen Kontinuums C’, so erhellt leicht, wie man auch von dieser Seite her den Satz beweisen kann, dass die Projektionen zweier nor- malen Kontinua proportional sind.

Nach dieser Abschweifung über die normalen Kontinua kehren wir zur Betrach- tung des gegenseitigen Verhaltens zweier linearen Kontinua zurück, deren Dimensions- zahlen zusammen derjenigen der Totalität gleich sind. Das eine mfache Kontinuum heisse A, das andere (n — m)fache B, und es sei m <+n. Das zu A normale Kon- tinuum A’ wird dann B in einem (n — m)fachen Kontinuum C' schneiden; das normale zu diesem ist ein 2 mfaches Kontinuum (', welches A in sich enthält und B in einem

39 _

mfachen Kontinuum D schneidet. Wird dann B als (n — ım)fache Totalıtät aufgefasst, so sind darin die Kontinua C und D enthalten und zu einander normal. Das ursprüngliche Kontinuum B hat also gleichsam eine orthogonale Zerlegung in die Kontinua C und D erfahren, und da von diesen C zu A orthogonal ist, so darf es bei der Beurteilung der gegenseitigen Lage von A und B ausser acht gelassen werden; es kommt nunmehr alles blossauf die gegenseitige Lage der ınfachen Kontinua A und D an, welche beide dem 2- mfachen Kontinuum C’ angehören. Man kann also alle dem (rn — 2 m)fachen Kontinuum C entsprechenden Variabeln gleich Null setzen, das Kontinuum C' als Totalität be- handeln, und hat es dann nur mit der Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier ınfacher linearer Kontinua innerhalb einer 2 mfachen Totalität zu thun.

Der Fall, wo die Summe der Dimensionszahlen der gegebenen linearen Kontinua die Dimensionszahl der Totalıtät übertrifft, ist auf den vorigen Fall zurückzuführen. Sind die gegebenen Kontinua ein (+ m)faches A und ein (l -+ n)Jfaches B, und die Dimensionszahl der Totalität 7 -+ nm — n, so schneiden sich A und B in einem /fachen Kontinuum C. Das normale (m -+ n)fache Kontinuum sei (”, so schneidet dieses die Kontinua A und B resp. in einem mfachen D und einem nfachen #, deren gegenseitige Lage nun :ebenso wie oben zu behandeln ist.

Den Weg zur Beurteilung des einzigen Falls, auf den alle übrigen zurückgeführt wurden, bahnen wir uns nun durch die Lösung der folgenden Aufgabe.

Aufgabe. Eine orthogonale Transformation der n Variabeln x, y,...z in die neuen &,4,,...t, zu finden, durch welche die beliebig gegebenen n homogenen und linearen Polynome

y=acr+by+...+c0,p =acz-+by-+...+ cz, etc. in solche Formen ylııt +, +... +h,Wp=hth ++... + hut ete. übergehen, wo alle Summen gleichnamiger Produkte je zweier Koeffizienten denselben Polynom, z. B.

h,hl,+hk+hii +.

verschwinden. Auflösung. Es sei Wi +Al’ +h" + hh —+...=s, etc, N die Determinante der nn Elemente A; die reciproken Elemente sollen mit FH bezeichnet werden, z. B. öN öN ’ ön, = H, dh, — I, etc. Dann ist h, = 2 N v s,, etc. Snanın ze«ath +6, —+...+0,1,y=ß th +-:»::.„2z2=y4h-tr... die

orthogonalen Transformationsformeln, so ist h, = u, —- DB, 4- ... -H CYı» etc.,

also N-)j4 b ce )&%.ß, yı|, a v. c do : Br: Y De ee rleng | ae Marke 0 Da Pe

weil die Koeffizienten h entstehen, indem jede Horizontalzeile der linken Hälfte dieses Schemas mit jeder Horizontalzeile der rechten Hälfte zu einer Produktensumme kom- biniert wird. Die Determinante der rechten Hälfte ist bekanntlich 1, und die reci- proken Elemente sind den ursprünglichen gleich. Die Determinante der linken Hälfte

sei /, und die reciproken Elemente seien A, B,...0; A,...„ z.B.4= In . Dann

ist N = 4. Die Grössen H entstehen aus obigem Schema, wenn in jeder Hälfte eine Horizontalzeile weggelassen wird. Also ist

H, = Au +Bß +.:.:+0%, HH, = Au, + Bf, + :-- + Cy, ete. Wir bekommen daher n Systeme von je n Gleichungen:

(5: a)a+(5s—)8+...+(3s— e)y=0, (Es-a)a+(2sr)B+...+(&Gs-e)y=0, (00: @

Dieses System hat man sich nmal wiederholt zu denken, indem die Buchstaben s, «, ß, ...y nach und nach mit den unteren Zeigern 1, 2, 3,...n versehen werden. Eli-

Koeffizienten von «e,ß,...y mit 5: 4, so erhält man eine Gleichung 5 =(, in der nur die Unbekannte s vorkommt. Die irgend einer Horizontalzeile jener Koeffizienten entsprechenden reciproken Elemente der Determinante werden nach geschehener Sub- stitution eines Wertes von s mit «, ß,...y proportional, sodass zu jedem. bestimmten Werte von s immer nur eine Reihe von Verhältnissen @&:ß:...:» gehört. Die De- terminante S: A wird man erhalten, wenn man das Produkt 2.

(5s-a)(3>—b)....(4s— 0)

entwickelt, ohne die alphabetische Folge der Faktoren jedes Monoms zu verändern, und dann jedes solche Monom durch eine Determinante ersetzt, in deren Schema die Faktoren jenes als Elemente der ersten Horizontalzeile erscheinen. Wird ferner jede solche De- terminante als Summe von Produkten je einer aus den Elementen — a, — b,...—c

gebildeten Determinante ten Grades mit der ungleichnamigen, aus den Elementen $ s,

etc., gebildeten (n — i)fachen Determinante dargestellt und beachtet, dass diese immer

das (— 1)" " fache von jener ist, so erhält man

— 94 —

S="—Ks"!+RK,s"”"— KR, s®""-+...+(-N I, .. 0.0.62) wo K, die Summe der Quadrate aller Determinanten iten Grades bezeichnet, welche aus den Elementen a, b,...c,«,... gebildet werden können, und somit (”; ” Glieder

zählt. Es ist klar, dass Ä„ = 2? wird. Wenn also die Polynome p,9,p',... alle von einander unabhängig sind, so ist die Gleichung $ = 0 vom nten Grade und kann die Null nicht zur Wurzel haben.

Betrachten wir nun ein reciprokes Element der Determinante S: 4, z.B. das,

welches dem ursprünglichen Element % s — a entspricht, und sehen davon ab, das 4, B', etc. Funktionen von a sind, so ist dasselbe (2). Denkt man sich aber S als Funktion von s und den nn Grössen a, b,...0c,4@,..., soist — nn wegen der überall vorkommenden Quadrate von Determinanten gerade doppelt so gross. Jenes erste reci- proke Element hat also den Wert — a Folglich ist 0808 080805 :B ee da” ob Be aa He ba’obr ga ee. Br. Sr (3) Die gesuchten Verhältnisse werden erst dann unbestimmt, wenn sämtliche nach den nn ursprünglichen Elenıenten a, b,... abgeleiteten Funktionen von S verschwinden. Da nun 08 1,098 Nr tray, trete: ist, so ist dann zugleich $ = (0, n — 0; folglich hat dann die Gleichung S = 0 gleiche Wurzeln. Wir müssen jetzt umgekehrt zeigen, dass, wenn die Systeme (1) gelten, sie die gemachten Voraussetzungen zur notwendigen Folge haben. Es sih=a«-HIß—...

+cy,h = deae+ DdB-+...+cy, etc, wo h,W,...@,ß,...y nach Belieben mit einem der unteren Zeiger 1, 2,3,...n zu versehen sind. Multipliziert man die Glei- chungen (1) mit a,a,«a',... und addiert, so ergiebt sich, wenn man die ähnlichen

Gleichungen hinzunimnmt, das System

se=ah+ah ah —+..., B=-bh+bW +bN —+..., |

WIR RENEENE ORRIEN 4) sy =ch+ch ch —+... Bringen wir hier den untern Zeiger 1 an, multiplizieren mit «a,, ß., . . .Y%, und addieren, so ergiebt sich sy, +ß BB -+:.::-+yY7)=h li, +, hihi -r...

Vertauscht man die Zeiger 1 und 2 und subtrahiert beide Gleichungen von einander, so bekommt man

(5, — 8,) + Pt... My).

ui BE an

Wenn die Wurzeln s,, 3, verschieden sind, so folgt hieraus

a +ßB R+t.:-- Nr =0 :- 2.2.2022.) und h,l,+hk, th, —...=0. Wären s,, s, zwei konjugierte imaginäre Wurzeln der Gleichung S = 0, so hätten auclı je zwei Verhältnisse, wie ß, : a, ß, : «, konjugierte Werte, und ıhr Produkt wäre die Summe zweier Quadrate; die Gleichung (5) könnte also nicht bestehen. Also kann die Gleichung S = 0 keine imaginären Wurzeln haben. Hätte sie gleiche Wurzeln, und

man durch geringe Variation eines oder mehrerer der ursprünglichen Elemente die Gleichheit der Wurzeln in eine geringe Verschiedenheit umändern, und dann würden auch die entsprechenden Verhältnisreihen nur sehr’ wenig von einander abweichen; die Gleichung (5) würde dann "+ —+...+7+2(oade + BdB —-...+ rd) =d.

Da man die Variationen da, dß,....dy so klein, als man nur will, muss machen können, so muss auch «@® -+-ß?—+...-+ y° für die wirkliche Gleichheit beider Wurzeln ver- schwinden, was die imaginäre Beschaffenheit der Verhältnisse, also auch des entspre- chenden Werts von s voraussetzt. Wenn also die Gleichung $ = 0 gleiche reelle Wurzeln

werden, was notwendig erfordert, dass alle nn abgeleiteten Funktionen von S für eine solche Wurzel verschwinden. Es ist dann immer noch möglich, dass n — 2 Gleichungen des Systems (1) zwei unter sich unabhängige Reihen von Verhältnissen @:9:...:9, liefern, und es ist dann leicht, diese so einzurichten, dass sie der Orthogonalitätsbedingung genügen. Der entsprechende rechte Winkel kann dann nach Belieben in seinem zwei- fachen linearen Kontinuum herumgedreht werden.

Man kann immer «®-- ß?—-...—+y?= 1 machen. Wenn man nun die Glei-

chungen (4) resp. mit «, ß,...» multipliziert und addiert, so erhält man s=-l--N?ıH'?-ı....

Die Wurzeln der Gleichung 5 = 0 sind also sämtlich positiv, was auch schon aus den n Zeichenwechseln in (2) folgt.

Wir haben nun nachgewiesen, dass die Auflösung des Systems (1) im allgemeinen (Gleichheit ‘von Wurzeln der Glchg. S= 0 ausgeschlossen) alles dasjenige in reeller Form leistet, was die Aufgabe verlangt. Wegen der Anwendung auf das Folgende be- merke ich nur noch, dass vermöge der Eigenschaft h, A, + h, 12 + etc. = (), ete., aus den Former p=h, bh +h,b+...+,wp=htı+..., etc. noch andere sehr vereinfachte sich sogleich ergeben. Man mache

Se 7 R Vs "3 Y5

BEP; = N yve9y9

FE.

wo zu s,h,n nach und nach die untern Zeiger 1,2,...n hingehören, dann sind np tnPr tn +...» RB-nptmp mp +... ete.

orthogonale Transformationsformeln, und man erhält mittelst derselben 9 = Ys, 1, = Ys; Ay... = Vsn- In

Satz. In der 2nfachen Totalität sind zwei nfache lineare Kontinua C und © beliebig gegeben. Von ihrer gemeinschaftlichen Lösung aus werden in denselben resp. die Strahlen », ” gezogen. Der spitze Winkel / (rr) hat offenbar ein absolutes Minimum, welchem das Strahlenpaar.a,« entsprechen möge. Die Bestimmung desselben hängt von einer algebraischen Gleichung nten Grades ab, deren Unbekannte cos? £ (aa‘) ist, und ihre Auflösung liefert daher im ganzen n Strahlenpaare a,&4; b,db’;...e,c, welche den analytischen Bedingungen der Aufgabe genügen. Dann bilden die n Strahlen a,b,...c ein orthogonales Axensystem des Kontinuums (, und ebenso die n andern Strahlen a’,b,...c' ein orthogonales Axensystem des Kontinuums CO’; und jeder Strahl a des einen Kontinuums ist mit den nichtzugeordneten n — 1 Strahlen V,...c des andern Kontinuums orthogonal. Endlich ist der Pro- jektionsfaktor des einen Kontinuums auf das andere, oder |

cos Z (CC’) = eos Z (aa) X cos Z (bb)X...x cos Z. (cc).

Wenn »,r' zwei beliebige Strahlen beider Kontinua C, C’ sind, so ist cos / (17")= 008 Z/ (aa). cos Z (ar). cos Z (ar) -+- cos Z (bb). cos Z (br) . cos Z (V vr) + ...-+ 008 / (ec). cos Z (er). cos Z (dr).

Beweis. Es ist leicht, in jedem der gegebenen Kontinua C, C’ ein orthogonales Axensystem .zu finden. In C' sei es durch die „» Variabeln x, y,...2, in ©’ durch #,, ty,» . . t„ dargestellt. Zu jenem System nehmen wir noch n Axen «,v,....w hinzu, sodass x, Y,...2,4,d,...w die orthogonalen Variabeln der Totalität sind. Dann sind U=0,v=0,...w= 0 die Gleichungen des Kontinuums C; diejenigen von Ü’ seien

y=ßı t, + ß, Me Pa In 2.= Yı t, a Fey w=0h +94... v TR

.. .- 8 0 0V8f[ 8 Tr Tr Tr LT re Tr re Tr LT 8 8 —o

Es wird seın

Br... +++. A+ltel

mit unterm Zeiger 1, 2, 3,...n; ferner bestehen +n (n—1) Gleichungen, wie | th, +. Frhr t.. tum. ... . (6) Alle diese Relationen bestehen fort, wenn man auch das Axensystem (ft, ,‚1,,...t,) oder das System (x,y,...z) oder das System (w,v,...ıw) orthogonal transformjert. Wir ‘haben nun schon gesehen, dass man durch die zwei ersten Transformationen bewirken kann, dass die n ersten Gleichungen des linearen Kontinuums C’ sich so vereinfachen: 2 = cl, y= Bl, ...-2= yl. | Dann reduzieren sich aber die + n (n — 1) Orthogonalitätsbedingungen (6) auf: 4, +5 +..:+5& = I, ete. | | Wird jetzt e®=1— ed, ß’=1—Bß,...y°=1-—.y” gesetzt, so hat man auch | 2-2 +..+-0=0, 8--285=ß%.,%,+&8+..+ü=y!, nn = dh, num w u. u BE eu, Diese auf ",d,...w bezügliche Transformation ist orthogonal. Bezeichnet man die daraus entstehenden neuen Variabeln wieder mit u, v,...w, so hat man zuletzt folgende Systeme von Gleichungen:

für das Kontinuum C u=0,V=0,..,W= 0; für das Kontinuum C’ z=al,y=Bßt,..z=y,u=at,v=Pßt,...w=yt.

Man sieht, dass der Kosinus des Winkels der Axen x und t, gleich « ist, und dass die übrigen Axen t,,t,,...t, zur Axe x orthogonal sind, u. s. f.

Denkt man sich ein nfaches Paralleloschem, dessen Kanten sämtlich gleich 1 sind und auf den Axen t,,t,,...t, liegen, so ist sein Mass 1, und die Projektionen seiner Kanten auf die Axen x,y,...z des Kontinuums C sind:

&, 0, 0, .e.. 0, 0,ß,0,...0, 0, 0, 0, oo 0 0 y.

folglich ist der Projektionsfaktor von C’ auf C, oder cosZ/ (CC) =uß...y. |

Es sei r irgend ein in C befindlicher Strahl, x, y,...z seine Projektionen, ebenso r irgend ein Strahl in C’ und 4,t,,...t, seine Projektionen, O=/(1r'), so ist

rr cos 9 = axtı -+ Byl; +... —+- yet, woraus vermöge einer bekannten identischen Gleichung (2? Bty’—+...+y?z)r? —(rr cos ©)? = (art; — Byl,)’ —+ etc.

folgt. Wenn also der Strahl ” fest bleibt, und nur »" variiert, so ist «=? +-ß’y?-+- ...—+- Y°2? der grösste Wert von »* cos? ©, und dieser findet statt für

BrEDR EL br

zu; 388 ze

Ist ferner «? das grösste unter den Quadraten «*, ß?,...y*, so ist «? das absolute Maximum von EB N Let

2 az COS 9 = z = TC + y° + ..0.. + =. :

und dieses Maximum findet statt für y=0,...2= 0; dann ist aber auch , =o,t,= oo, ...t„=o. Folglich ist der spitze Winkel Z/ (xzt,) das absolute Minimum von ©, und für dieses & = cos ©, wenn « positiv genommen wird. Da aber «® eine Wurzel derselben Gleichung nten Grades ist, welche auch ß°,...y? zu Wurzeln hat, so haben die Winkel £(yts),.../(zt,) und die Axenpaare, von denen sie gebildet werden, dieselbe analy- tische Bedeutung, wie der /(xt,) und die ihn einschliessenden Axen.

Bemerkung 1. Ergänzt man das System t,, t,,t„ zu einem totalen orthogonalen System, so kann nıan unter anderm dem Schema der Transformationselemente folgende Gestalt geben:

4,052... 0, en

0,B:...09, 9, —ß,...

E00... 00, 0

0, ß L) , Ö, ß, 0 ,

0,0, Yı 9% Y

Die Determinante muss den Wert 1 haben. Es ıst leicht, dieses zu verifizieren, Die Determinante wird erhalten, wenn man die Vertikalzeilen auf alle möglichen Arten permutiert und das Produkt der in die Diagonale fallenden Elemente positiv oder negativ nimmt, je nachdem die Permutation eine positive oder negative ist. Sobald man aber nicht zwei gleichnamige Vertikalzeilen der linken und rechten Hälfte vertauscht, fällt eine Null auf die Diagonale. Hieraus ist klar, dass die Determinante

GELDIUEN DReGERZ

sein muss.

Bemerkung 2. Wenn ein Strahl und ein lineares Kontinuum gegeben sind, so ist der in diesem befindliche Strahl, welcher mit jenem den kleinsten spitzen Winkel bildet, seine Projektion auf dieses lineare Kontinuum. Dieser Satz ist schr leicht zu beweisen.

Sind nun in der 2nfachen Totalität zwei lineare nfache Kontinua beliebig ge- geben, so sind ihre n Axenpaare durch die Bedingung bestimmt, dass von Je zwei Axen eines Paares jede die Projektion der andern ist.

$ 16. Ueber die Zahl der Teile, in welche die nfache Totalität durch eine beliebige Menge (n — I)facher linearer Kontinua geteilt wird. Satz. Sind ö lineare Gleichungen mit n Variabeln gegeben, von denen

nie n-+-1 zugleich bestehen, so ist die Zahl der durch sie gebildeten Teile der Totalität

OH) ua ©) En 6) EEE 1 Er A077

Beweis. In der letzten der i linearen Gleichungen nehmen wir die Konstante gross genug an, dass ihr Polynom immer das gleiche Vorzeichen mit dieser Konstanten behält, welche gemeinschaftliche Lösung von je n der ©— 1 übrigen Gleichungen man darin auch substituieren mag.. Die Zahl der Teile der Totalität, für welche jenes Polynom das entgegengesetzte Zeichen seiner Konstante behält, ist dann gleich der Zahl der Teile des (n—1)fachen linearen Kontinuums, für welches das Polynom verschwindet, oder gleich der Zahl der Teile, in welche eine (n — 1)fache Totalität von :—1 linearen Kontinuen geteilt wird, also gleich f (n— 1,:—1). Da aber die erwähnten Teile der nfachen Totalität durch die letzte lineare Gleichung zu den schon von den übrigen i— 1 Gleichungen gebildeten Teilen neu hinzugebracht werden, so ist

IR) =fni-)+fr— Li—1). | Variiert man nun jene zuerst sehr gross angenommene Konstante, sodass die Gleichung irgend eine schon vorhandene gemeinschaftliche Lösung von rn der übrigen festen Glei- chungen passiert, so ist leicht zu zeigen, dass die Zahl f (n, ) nachher gleich gross ist, wie vorher. Statt eines geschlossenen Teiles nämlich, worin jenes bewegte Polynom gleiches Vorzeichen mit seiner Konstanten und die n zur Lösung gehörenden Polynome jedes sein bestimmtes Vorzeichen hatten, tritt nun wiederum ein geschlossener Teil auf, innerhalb dessen alle an 1 Polynome entgegengesetzte Vorzeichen haben, wie vorher; innerhalb aller übrigen Teile dagegen behält jedes der i Polynome dasselbe Vorzeichen wie vorher. Um das Gesagte noch näher zu begründen, bezeichne ich diejenigen n von den © gegebenen Polynomen, welche für die betrachtete Lösung verschwinden, mit 7,, Par. Pn, das Polynom, dessen Konstante berührt wird, mit p,,;,, eliminiere dann aus den n-+1 Gleichungen, welche diese p als lineare Funktionen der n Variabeln x, y,... angeben, diese letzteren, und erhalte so die Gleichung a, Pı Ar Ag Pe ruesrr AnPn oc Ay+1 Pa+ı 7 C,

wo nur C von jener variierten Konstanten abhängt. Ist nun zuerst C positiv gewesen, so geben die Bedingungen, dass alle Glieder der linken Seite positiv sein sollten, einen geschlossenen Teil der Totalität; und wenn jetzt C' die Null passiert hat und negativ geworden ist, so muss man verlangen, dass a, P,, da Pgy- --4y41 P.;ı sämtlich negativ seien. um eine geschlossene Totalität zu bekommen. Innerhalb beider geschlossener Totali- täten hat also der Wert eines jeden der Polynome p,,3, - - . 9. entgegengesetztes Vor-

25. AN:

zeichen. Die gemachte Bemerkung gilt, so oft das bewegte Polynom eine Lösung passiert. Die Zahl / (n, ©) ist daher von der gegenseitigen Lage aller i linearen Kontinua unabhängig, wofern nur nie mehr als n derselben in einer Lösung zusammen- treffen.

Ist kein lineares Kontinuum gegeben, so zählt die ungeteilte Totalität für 1; folglich ist f (n,o)=1. Addiert man nun die Gleichungen Sn) =fni: -V)-+fn— Li-—1), Sm: —- DD =fni—2)+fn — 1: —2), fa, )=f(n,o)f(n— 1,0), In)=1, so erhält man Sn, )=1-+fn — 10) f(n—- 1,1) +f nm — 12) 1... fan — hi—1). Es sei f(n,i) -fn— 1Li)=g(n,ü), so ist p(n,o) = o, und o(n,)= pn —11)+9(n—12)+9(n— 13)... +p(nr — Li —1]). Nun ist /(l,J)=i-+1, also f(,: —1)= fl) —f(Li—1)=1, daher auch f(o, i) =] und deshalb p(1,:)=:; folglich ist 9&)=1+2+43+... +6 —-D=(() ; ER 9 Der + (7) =h und überhaupt p(n, :) = (;). Da somit

fa) =fa—19)-+-({)

ist, so folgt nun leicht:

fa Man sieht leicht, dass, wenn i<n ist, / (n, i)=2! wird.

Der soeben bewiesene Satz kann auch so ausgesprochen werden: Wenn :i li- neare Polynome mit n Variabeln beliebig gegeben sind, sodass nie mehrals n zugleich verschwinden, aber auch immer n durch eine und dieselbe end- liche Lösung zum Verschwinden gebracht werden, so ist die Zahl der ver- schiedenen Gruppen von Vorzeichen, welche die Werte dieser Polynome für

R N ? ! ! alle reellen Lösungen annehmen, gleich („)-+ (+... + (‚) Satz. Unter derselben Voraussetzung ist die Zahl der Vorzeichen- gruppen, welche nur für endliche Werte der Variabeln stattfinden können,

gleich oh Man kann dies die Zahl der geschlossenen Teile der Totalıtät nennen.

= A

Beweis. Wenn irgend n-+-1 Polynome gewählt werden, so kann man dieselben mit solchen konstanten und endlichen Faktoren multiplizieren, dass aus der Summe der Produkte die n Variabeln verschwinden. Wir haben dann eine homogene lineare Funktion der n—+1 Polynome gefunden, welche einer Konstanten gleich ist. Denken wir uns z. B. jene Faktoren und diese Konstante sämtlich positiv und setzen für die n +1 Polynome eine Gruppe positiver Vorzeichen, so ist klar, dass unter dieser Bedingung kein Polynom einen unendlich grossen Wert haben kann. Da aber jede Variable als lineare Funktion von n dieser Polynome dargestellt werden kann, so kann auch keine Variable unendlich gross werden. Nun sei ein Polynom p so beschaffen, dass sein Wert für alle Lösungen, welche irgend n der übrigen Polynome verschwinden machen, dasselbe Vorzeichen, z. B. -!-, habe, und es sei eine Gruppe von Vorzeichen bekannt, welche für p = o nur endliche Lösungen gestattet, z. B. die Gruppe von ? — 1 Pluszeichen; man nehme dann beliebige n Polynome 9,, Pa, --.P„ heraus und suche die identische Relation

Pump tt... mp — AL,

wo A positiv sein möge, so müssen, damit für p = o nur endliche positive Werte von Pır Par -- + Pu Stattfinden können, sämtliche Faktoren qa,,a,,-.. a, positiv sein. Da aber für die Lösung p, = 0,9, = 0,...9, = 0 auch p positiv sein soll, so muss auch a positiv sein. Dann gestattet aber die Gruppe der positiven Vorzeichen für p,p,,...p, nur endliche Lösungen. Sobald man aber dem Polynom p jeden beliebigen negativen Wert giebt, so kann auch z. B. p, jeden beliebigen positiven Wert bekommen. Hieraus er- giebt sich, dass zu der für die 2— 1 Polynome stattfindenden Zahl der fraglichen Vor- zeichengruppen durch das neue Polynom p noch die Zahl der für p = 0 stattfindenden Vorzeichengruppen, welche nur endliche Lösungen erlauben, hinzugebracht wird. Wenn wir also die fragliche Zahl mit ‚f (n,i) bezeichnen, so ist

Sn) =fni—- )+fn—- Li—)). Dass der Durchgang von p durch eine Lösung’nichts ändert, haben wir schon geschen. Daher dürfen wir jetzt die Bedingung fallen lassen, dass unter den gegebenen Polynonien eines p sich finde, dessen Wert immer dasselbe Vorzeichen behalte, so oft auch je » der übrigen Polynome zugleich verschwinden mögen; die Formel gilt allgemein. Nun ist Sn,d=o für ı<n, aber f,n +) =1; also fa, d)=efn —1Ln)I fm — ın+1) +fn— 1ın-+2)--...+fn—- Li—1). Es ist fA,)=i—1 für i>1, daher

—1 —1\ . Zu fe) = ( , 8) = ( ; ), überhaupt [(n, ) = (",.). Satz. Wenn ö homogene lineare Polynome mit n Variabeln beliebig gegeben sind, so ist die Zahl der Vorzeichengruppen

i—1 i—1 i—1 1 en : E ORRRER 2 IH) ri) oder doppelt so gross wie für <—1 nicht homogene lineare Polynome mit nur n— 1 Variabeln.

er AN

Beweis. Man transformiere die n Variabeln so, dass eines der Polynome sich auf eine einzige Variable, z. B. x, reduziert, dividiere dann alle übrigen Polynome durch diese Variable x, so hat man es nur noch mit n —1 Variabeln und © — 1 nicht homo- genen Polynomen zu thun. Man stelle sämtliche Gruppen der —1 Vorzeichen auf. Multipliziert man jetzt die Polynome mit einem positiven Werte von x, so werden die Gruppen nicht geändert, und zu jeder kommt noch das positive Vorzeichen des Polynonis * hinzu. Multipliziert man dann auch mit einem negativen Wert von r, so werden in jeder Gruppe alle Vorzeichen geändert, und für das Polynom x kommt das Minuszeichen hinzu. Die Zahl der Vorzeichengruppen wird also wirklich doppelt so gross als vorher.

Wenn i nichthomogene Polynome mit n Variabeln gegeben sind, so ist die Zahl aller Vorzeichengruppen zusammengesetzt aus der Zahl derer, welche nur endliche Lösungen, und die Zahl derer, welche auch unendliche Lösungen gestatten. Die letzte Zahl ist aber dieselbe, wie wenn man die Konstante eines jeden Polynoms weglässt, sodass alle Polynome in Beziehung auf die n Variabeln homogen werden. Wenn also F(n,ı) die Zahl aller Vorzeichengruppen überhaupt bezeichnet, so ist

: : | ISn,)=2f(n -—Li— V)-+ =.) Verbinden wir dieses mit

ISH,)=fni -dD+fm— hi—]),

so folgt

Sa:—)-fr—- 1:1) -(,)

oder

Ind -—-Sm-L)= ()

se) (+ +6)

woraus wiederum

sich ergiebt.

$ 17. Reguläre Polyscheme der wierfachen Totalität.

Wenn in der dreifachen Totalität, oder im Raume, ein reguläres Polyeder von regulären »ı Ecken umschlossen wird, deren je n in einer Ecke zusammenstossen, so wollen wir dasselbe mit dem Charakter (m, n) bezeichnen. Die Geometrie kennt zwei Verfahren, alle Kombinationen (m, n), welche vorhandenen Polyedern entsprechen, auf- zuzählen und die Zahl der Stücke eines jeden zu bestimmen. Das erste Verfahren ist rein konstruktiv, olıne Rücksicht auf Massverhältnisse. Man stellt sich nur die Aufgabe, aus lauter m Ecken, deren je n einen Körperwinkel bilden, cin geschlossenes Polyeder zusammenzufügen. Der Satz in $ 10 reicht für diesen Zweck hin; für n=3 wird er

RC

W— 4404, —a, =1, oder, daa,=1 ist, ,— a, 4a, = 2. Man findet leicht na, = 24, = ma, und hieraus

4,:0 :4,:1=4m:2mn:4n: (A— (m — 2) (n — 2)).

Die Natur der Aufgabe verlangt für 4 — (m — 2)(n — 2) einen positiven Wert. Da nun der kleinste Wert für » sowohl als für n die Zahl 3 ıst, so sind für das Produkt (nm — 2)(n — 2) nur die Werte 1, 2, 3 möglich, woraus als einzig mögliche Charaktere (3,3), (3,4), (3, 5), (4, 3), (5, 3) sich ergeben. (Gestattet man für a,„,a,,a, auch unendlich grosse Werte, so kann noch (mw —2)(n— 2) = 4 sein, woraus die Charaktere (3, 6), (4,4),(6, 3) entstehen, welche nur die Arten anzeigen, auf welche die Ebene mit gleichen regulären Vielecken bedeckt werden kann.) Durch dieses Verfahren ist das Vorhanden- sein der den fünf obigen Charakteren entsprechenden Polyeder noch nicht bewiesen, sondern nur gezeigt, dass keine anderen Charaktere möglich sind. Es kommt nur noch darauf an, einen dem Charakter entsprechenden Körperwinkel zu konstruieren. Gelingt dies, so weiss man dann zum voraus, dass beim wiederholten Aneinanderfügen der offenen polyedrischen Figur des Körperwinkels ein geschlossenes Polyeder von der bestimmten Anzahl von Stücken enistehen wird. Vermöge der Natur dieses ersten konstruktiven Verfahrens ist es gleichgiltig, ob der Körperwinkel einfach oder überschlagen sei; ebenso in Beziehung auf das Vieleck; die Zahl der Stücke des Polyeders wird dieselbe bleiben. Wenn wir z. B. das Symbol — für ein überschlagenes reguläres Fünfteck gebrauchen, dessen Perimeter zweimal herumgeht, so haben das einfache Polyeder (5,3) und das überschlagene (,,3) die gleiche Zahl von Stücken.

Das andere Verfahren gründet sich auf die Betrachtung von Massverhältnissen.

Man weiss z. B., dass die Konstruktion eines dem Charakter (m, n) entsprechenden re-

gulären Ecks die Bedingung 4 H1>2 erfordert, und dass ein solches Eck auch für

gebrochene Werte von m,» möglich ist, wenn sie nur dieser Bedingung genügen. Die Projektion der Oberfläche des Polyeders auf eine um sein Centrum beschriebene Kugel liefert ein Netz von regulären sphärischen Vielecken, und, da der Inhalt eines .solchen durch seine Winkel ausgedrückt werden kann, so ist das rationale Verhältnis, in welchem er zur ganzen Kugelfläche steht, bekannt. Dabei ist aber immer noch möglich, dass

. [} . | . 2 . . 3 das Netz nie sich schliesst. Setzen wir z. B nu = jyın- 3, so ist die Bedingung

nd

7 ig . erfüllt; der Inhalt des (Z)Ecks ist er oder — der Kugelfläche. Obschon man daher einen Augenblick glauben könnte, das Netz bestände aus 12 überschlagenen Siebenecken und enthielte die Kugelfläche 5 Mal, so kehrt doch das Netz nicht in sich selbst zurück, weil (7,3) nicht Charakter eines Polyeders sein kann.

Schliesst man aber überschlagene Körperwinkel und Vielecke von der Betrachtung

aus, So giebt auch dieses zweite Verfahren nur die wirklichen regulären Polyeder, und

cl $'

ae A

der Satz über den Inhalt eines sphärischen Vielecks lehrt uns die Zahl der Stücke eines jeden kennen.

Gehen wir jetzt vom Raume zur vierfachen Totalität über, so ist sogleich klar, dass der Umschluss eines regulären Polyschems aus lauter gleichen regulären Polyedern bestehen muss, denen wir den Charakter (m,n) geben wollen. Da aber um jede Grenz- lösung herum die betreffenden Stücke des Umschlusses auf reguläre Art zusammengefügt sein müssen, so ist nicht weniger klar, dass die Enden aller von der Grenzlösung aus- gehenden Grenzstrahlen oder Kanten in einem und demselben dreifachen linearen Kontinuum liegen, und wenn man dieses als Raum betrachtet, darin als Ecken eines regulären Polyeders gruppiert sein müssen; da die Seitenflächen des letzten reguläre n Ecke sind, so setzen wir (n,p) als Charakter dieses Polyeders. Hierdurch ist die Bedeutung des Charakters (m,n,p), den wir für ein reguläres Polyschem gebrauchen wollen, hinreichend erklärt. Bei der Aufsuchung der möglichen Charaklere dieser Art können wir wiederum, wie vorhin für den Raum gezeigt worden, entweder ein kon- struktives oder ein rechnendes Verfahren anzuwenden versuchen. Das erste würde, wenn m,n,p rationale Brüche sind, nur ihre Zähler, das zweite hingegen ihre Werte berücksichtigen. Was die allgemeine Bestimmung der Zahl der Stücke eines vierfachen Polyschems vom Charakter (m,n,p) betrifft, so lassen uns leider beide Verfahren gleich sehr im Stich; das erste, weil die Formel ,— a, -+a, —a,-Ha,=1sich auf ,—a, + Ad, — A; =0 reduziert und deshalb nur die Verhältnisse der gesuchten Zahlen, nicht ihre Werte selbst uns kennen lehrt; das zweite, weil es auf einfache Integrale von transcendenter Natur führt, deren Auswertung nur für jeden einzelnen Charakter be- sonders und zwar mit Hilfe des ersten konstruktiven Verfahrens gelingt. Es bleibt also kein anderes Mittel übrig, die Existenz irgend eines Polyschems (m,n,p) zu beur- teilen und die Zahl seiner Stücke zu erfahren, als die wirkliche Konstruktion; durch den Mangel einer apriorischen Formel für reguläre Polyscheme unterscheidet sich demnach die vierfache Totalität wesentlich vom Raunıe.

Wir versuchen zuerst auf dem allgemeinen Standpunkt das Mögliche zu thun. Der Umschluss des regulären Polyschems (m,n,p) enthalte a, Ecken, a, Kanten, a, Vielecke, a; Polyeder, so ist a, — «a, +4, —a, -=0. Das schon erwähnte Polyeder (n, pP) nennen wir Basis derjenigen Grenzlösung des Polyschems, welche Kanten aussendet nach allen Ecken jenes ersten. Diese Basis hat 4n: (2n-H-2p—np) Ecken, np: (2n-+2p— np) Kanten und 4p: (2n-1-2p— np) Vielecke. Von der entsprechenden Grenzlösung des Polyschens gehen also resp. so viele Kanten, m-Ecke und Polyeder (m,n) aus. Multipliziert man mit a, so erhält man die Gesamtzahlen. Da aber jede Kante zwei Grenzlösungen verbindet, jedes m-Eck deren m und jedes Polyeder (m,n) deren 4m: (2m + 2n — nn) in sich vereinigt, so hat man

4 Inp 4m en 1, 2, € —

4p — — _ MT ze(m rn)—mn

In +PI—np

0 A, mM 2in-H-p)—np ° 2

oder 0,:4:%:, = m(2 (np) —np):2mn:2np:p2(m-Hn)— mn). . . () Es versteht sich von selbst, dass beide Charaktere (in,n) und (n,p) nur existie- renden RR entsprechen dürfen. Ist 1 die Seite eines regulären Polyeders (n,»),

so ist nr sin 7 — : Vsin® - cos? —- der Radius der umschriebenen Kugel. Wird aber

1 als Kante AB des Polyschems angenommen, so ist 2 cos - die Seite der

Basis der Grenzlösung A, und wenn M das Centrum dieser Basis bezeichnet, so ist also

; F = N a. u ı der Radius MB der umschriebenen Kugel = cos „— sin B Vein: # — cos? = Da AVB

. . . . . . . . T . 9 7a . 7 nm ein in M rechtwinkliges Dreieck ist, so ist AM = Vein: rn sin? De cos? —: Vsin® ag cos? „

FE ı GE TE | | 1 e sin- sin—>C8— . . 2 2 2 2020.20.) m» n

eine Bedingung, ohne welche das Polyschem nicht existieren kann. Auf der Verlänge- rung des Strahls ANY liegt eine Lösung O, welche von A und B gleichweit absteht; sie wird dann auch von allen andern Ecken der Basis gleichweit abstehen, ist also über- haupt von allen Grenzlösungen des Polyschems gleich weit entfernt; wir nennen sie daher das Centrum des Polyschems und 04 seinen Radius. Ist nun C die Mitte der Kante AB, so ist das Dreieck OAC' dem ABM ähnlich; daher der Radius gleich:

. „(4 R 7ı Vsin® = — cos? -—— BE N

und

_— 2 Vsin: ” - - sin? Pa cos? —

Ist N das Centrum cines ee in A a ee Grenzpolyeder, so ist

1 Ni=— sin —: Vsin® — — cos’ — ; folglich bleibt das Verhältnis sin EHE sin? = — cos? 7 NA __ Br "_ 04 ae ee = n Te RL sın“ — — cos’ — Vsin?— — cos? — m n p n

sich gleich, wenn man auch m und » miteinander vertauscht; daher ändert sich auch das Verhältnis ON:O4A nicht. Im Raume entspricht der Satz, dass, wenn (im,n) und (n, ın) derselben Kugel eingeschrieben sind, sie auch wieder derselben Kugel um- schrieben sind.

Halten wir uns an ganze Werte von m,n,p, so genügen der Bedingung (2) nur folgende Charaktere:

(3,3,3), (3, 3,4), 8, 3,5), (8, 4,3), (4, 3,3), (5, 3, 3).

Der Charakter (4, 3, 4), welcher sin T - sin T == c0S 3 giebt, lässt A mit M zusammen- fallen und zeigt also nur die Erfüllung des Raums durch aneinander gelegte Würfel an.

2.'AG

Die Centra N aller in A zusammengefügter Polyeder (m, n) liegen in einem drei- fachen linearen Kontinuum und entsprechen den Vielecken jener Basis (n, p), indem die Strahlen AN durch die Mittelpunkte dieser Vielecke gehen; diese N bilden also ein Polyeder (p,n). Es ist nun leicht einzusehen, dass die Centra aller das Polyschem (n,n,p) umschliessenden Polyeder die Grenzlösungen eines neuen Polyschems (p, n, m) sind. Wenn also ein Polyschem von einem gewissen Charakter existiert, so existiert auch das Polyschem, in dessen Charakter die Elemente die umgekehrte Ordnung be- folgen. Wir nennen solche Polyscheme reciproke. Wenn zwei reciproke Polyscheme gleichen Radius O4 haben, so ist auch in beiden der Abstand ON des Centrums eines Grenzpolyeders vom eigentlichen Centrum gleich. Unter den 6 oben nicht als unmöglich aufgeführten Charakteren sind zwei, (3,3,3) und (3, 4,3) mit sich selbst reciprok; die übrigen bestehen aus zwei Paaren reciproker Charaktere: (3,3, 4), (4,3,3) und (3, 3,5), (5,3, 3). Im Raume ist bekanntlich nur das Tetraeder mit sich selbst reciprok; reciproke Paare sind: Oktaeder, Hexaeder und Ikosaeder, Dodekaeder.

Wir wollen nun durch wirkliche Konstruktion die Existenz aller 6 den obigen Charakteren entsprechenden Polyscheme beweisen.

1. Dem Charakter (3, 3,3) entspricht das Polyschem mit der kleinsten Zahl von Grenzkontinuen. Es hat also 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke und 5 Tetraeder. Wir nennen es Pentaschen.

2. Um das Polyschem (3, 3,4) zu konstruieren, tragen wir auf den positiven und negativen Hälften der vier vom Ursprung O ausgehenden Axen acht gleiche Abstände auf, so werden je vier auf lauter verschiedenen Axen befindliche Endlösungen ein Te- traeder bilden, und da eine Gruppe von vier Vorzeichen auf 16 Arten varıiert werden kann, so giebt es 16 solche Tetraeder. Ist A das eine Ende einer Axe, so bilden die 6 Enden der 3 übrigen Axen ein Oktaeder (3, 4), als Basis von A. Das konstrwerte Polyschem entspricht also dem Charakter (3,3,4); es hat 8 Ecken, 24 Kanten, 32 Drei- ecke und 16 Tetraeder, und möge daher Hekkaidekaschem heissen.

3.: Da jede Grenzlösung des Polyschenis (3, 3,5) eine ikosaedrische Basis hat, so erheischt die folgende Erörterung eine vorläufige Bezeichnung aller Stücke des lkosaeders mit Ziffern. Ich denke mir zwei entgegengesetzte Ecken desselben durch eine Axe verbunden und zähle dann die Stücke zonenweise ab. Es giebt dann zwei Zonen, welche je 5 Ecken enthalten; je die dem einen Axenende benachbarte nenne ich seinen Fünfeckschnitt.

Schema der Ecken. | Schenia d. Dreiecke. Schema der Kanten.

1 12345 l 4 3 4 5) 29345%6 6 789 1% 6 1 e) N) 10 891011 11121314 15 11.16.12.17.13.18.14.19.15.20

12 16 17 18 19 20 | 25 21 22 25 24

| 26 24 23 23 30,

zu A

Im Schema der Ecken sınd 2,3, 4,5,6 die Ecken des Fünfeckschnitts von 1; die Ecken 2,3,7 bilden ein Dreieck, u.s. f£ Im Schema der Flächen bedeutet 1 das 4 (1.2.3), die erste Horizontalzeile enthält die um das Eck 1 herumliegenden Dreiecke, die zweite die fünf Dreiecke, welche mit den vorigen Kanten gemein haben; und wie die übrigen Dreiecke angeordnet sind, wird deutlich genug werden, wenn ich sage, dass z. B. die Dreiecke 1, 2, 7,11,6 ım Eck 3, die Dreiecke 7, 11, 16, 17,12 ım Eck 8 zu- sammenstossen. Im Schema der Kanten enthält die erste Horizontalzeile die vom Eck 1 nach den Ecken 2, 3, 4, 5, 6 gehenden Kanten, die zweite die Seiten (2.3), (3.4), etc. des Fünfeckschnitts, die dritte die Kanten (2.7), (7.3), (3.8), (8.4), ete., die vierte die Kanten (11.7), (7.8), (8.9), etc., endlich die fünfte die vom Eck 12 ausgehenden Kanten (12.7), (12.8), etc.

Es sei nun « ein Eck des Polyschems; die 12 Ecken seiner ıkosaedrischen Basis seien mit Db bezeichnet; iclı stelle dann dieses Eck dar durch

b | oder z. B. auch: a “ bi bg db dio di 5 5 de do DJ’

biz b; indem ich links die Grenzlösung, rechts innerhalb der Klammern die Ecken ihrer Basis in irgend einer Anordnung, aus der man ihre gegenseitige Lage erkennen kann, hin- schreibe.

Die dreifachen Kontinuen der Basen von a und db, müssen sich in einem zwei- fachen linearen Kontinuum schneiden. Unter den 12 von Öb, ausgehenden Kanten des Polyschems sind nun 6 schon bekannt; es sind die, welche nach a, b,, b,, b,, d,, D, gehen. Diese Ecken gehören also der Basis von db, an, und die fünf letzten derselben hat sie ınit der Basis von a gemein. Jenes zweifache Kontinuum ist also die Ebene des Fünf- eckschnitts b, D, b, b, b,; und in Beziehung auf denselben kann man a und D, vertauschen. Das Eck b, kann demnach durch die Formel

47 b, bu bu de bu

1 x

dargestellt werden, wo x einen der noch unbekannten Scheitel der Basis bezeichnet. Wiederholt man das gleiche Verfahren in Beziehung auf die beiden Formeln für @ und b,, um Formeln für d, und D, zu erhalten, so werden diese

j q, a

bb, 5. db, %s bb. b,

2 a ER x’

48 —

einzig in diesen Formeln für b,, d,, b, kann das neue Eck x vorkommen, weil unter

allen bis jetzt bekannten Ecken nur diese mit & durch Kanten verbunden sind. Die

Zahl aller ähnlichen neuen Scheitel ist demnach — 20; sie entsprechen den

Flächen des Ikosaeders und sollen durch c,, €, ... €g0 bezeichnet werden. Die mit a diametral entgegengesetzten Scheitel der Basen von b,, b3,... db), mögen d,, dy,...dıs heissen.

Demnach sind jetzt die vollständigen Formeln für die Ecken 2, ,, b,, welche wir darum gerade anführen, weil nur diese den Scheitel «, enthalten, folgende:

«A qd da ' , db, db, b, % ' , 5, u bi % i bs, u, u b, (0 ee a (a 77 09 KEG, 1 ar 5 a 5 a % Cı % 6 d, d, d, Sie geben für das Eck c, die Formel: ’ b, bu od « a EL | ee“ d,

Von den drei noch unbekannten Scheiteln der Basıs kann der mit x bezeichnete nur in den Formeln der benachbarten Ecken c,, d,, d, vorkommen. (Die beiden nicht bezeich-

neten verhalten sich ähnlich. Jeder mit x analoge Scheitel kommt also in den 20

= ; ; ß 20.3 ; Formeln für c nur zweimal vor; ihre Anzahl ist daher 6 30; sie entsprechen den

Kanten und sollen mit e bezeichnet werden; jenes x z.B. wird, da es der den Flächen ’

1, 2 gemeinschaftlichen Kante entspricht, zu e,. Wir bekommen so für die Ecken e

der ersten Horizontalzeile, deren Basen den Scheitel d, gemein haben, die Formeln:

b, b, b, , bo, d 6 , db od , 6, od &% 2 head] @ a du % & d,P % leo, d, | es e7 e% b, b, bu % d € , u. ad ec re u 594 d] 5 oe, Ei 69 Co

Aus der frülleren Formel für db, und aus diesen fünf ergiebt sich folgende Formel für

d,, welches anderswo bis jetzt nicht vorgekommen ist: D ; 1

Se 40, „>

Der einzige hier fehlende Scheitel kann sonst in keiner der 12 Formeln für die d vor- kommen. Alle analogen Scheitel sind daher auch 12 an der Zahl; wir bezeichnen sie mit f, den hier fehlenden z. B. mit f,.

Der Scheitel e, findet sich nur in den Formeln für c,, c,, d,, d,; die zwei letzten sind:

b, b; aa. GG u % R) a GG mn Go 6%

265 e&, 6%, ea J’ ° es MM a io fi J:

Aus diesen .4 Formeln zusammen ergiebt sich die Formel

q du 5 de &%

2 9 5 oh - AP

Der eine hier noch fehlende Scheitel kann unter allen 30 Formeln für die e nur in denen für e,, €3, e,, der andere nur in denen für e,, e,, e&0 vorkommen. Jener entspricht

also dem von den Kanten 1, 2, 6 umschlossenen Dreieck 1, dieser dem Dreieck 5. Die 30.2

analogen Scheitel sollen mit g bezeichnet werden; ihre Zahl ist —— = 20. Wir be- kommen so folgende Formeln: q (3 (3 ds u &% ®% da u & €& d ad & 9 5 no ARIA AL er aa han Al ® 2. MA 9% Al I; 9ı Ie q, C, c di 5 d % ®& d 5 de &o © od & & £ 6 AH ALP L u Fan Fa Fa “ ee As N Kl UF 9 I

Unter den bis jetzt gefundenen Formeln sind die für d,, e,, &; &,, &,, e, die einzigen, In denen f, vorkommt. Sie geben

d,

af 8 u &% Si Iı I I I % h, wo wir den neuen Scheitel schon mit h, bezeichnet haben, weil es sogleich klar ist, dass er in allen 12 ähnlichen Formeln nur einmal gerade hier vorkommt und daher dem f, oder dem Ikosaedereck 1 entspricht. 7

2 ae

9, kommt vor nur in den Formeln für e,, &, e,.f1,J/ Js; von diesen sind die zwei letzten:

d, | d, e € er ®o ro ee & Een 6 Ji I9ı 9% Is Io If] fi 9 9 Iı I Iı he hı;

Alle sechs Formeln geben

2 weh % $ 91 JS 9% h I g]' Rh, alle Ecken der Basis von g, sind also schon vollständig vorhanden. h, kommt bis jetzt vor nur in den Formeln für f,, 91, Ya: 93 94 95. Die geben

Fi N Iı 9% 9 Iı 9 j h, bh, MM, Wh, i Der neue Scheitel < muss in den Formeln aller benachbarten Scheitel hy, A,, A, T,, Re sich wieder finden. Er ist daher einzig in seiner Art, hat die vollständige Formel h, , h hhh hr A hu ro Au Na und schliesst daher das Polyschem zu.

Die Ecken a und : waren einzeln, die b, d, f, h zu 12, die c und g zu 20, die e zu 30. Das Polyschem hat also 120 Ecken, 720 Kanten, 1200 Dreiecke und 600 Te- traeder; es möge Hexakosioschem heissen.

Die hier ausgeführte Konstruktion ist von der einfachen oder überschlagenen Be-

n 23a schaffenheit der ikosaedrischen Basis eines Ecks unabhängig. Da nun sin 2, sin a

cos 3 und daher die Zusammenfügung eines Ecks möglich ist, so ist durch das vorige

auch die Existenz des überschlagenen Hexakosioschems (3, 3, 4) bewiesen.

4. Sind x, y, 2, w orthogonale Variabeln, so können diese auf 6 Arten zu zweien kombiniert werden; bei zwei Variabeln können die Vorzeichen auf 4 Arten variiert werden. Es giebt also im ganzen 24 Gleichungen von der Forn + y=1; diese nun stellen den Umschluss des Polyschems (3, 4, 3) dar. Das Oktaeder (€-+y=1) hat die Ecken (1, 0, 0, 0), (!/a, Ye, Ya, Ye), (Ya, 2, — Ye, '/e), (le, Ya, — N — Ye) (Ua, Vs, Ye — "e), (0,1,0,0). Auf den Axen liegen 8 Ecken, wie (1, 0, 0,0), (— 1,0, 0,0), ete.; ausser

u ae

diesen giebt es noch 16 Ecken, wie (!/a, '/s, '/2, Ya). Im Eck (1,0, 0, 0) treffen die 6 Oktaeder, +y=1, z<tz=1, <tw=1, zusammen; im Eck (!/e, !/s, !/e, '/2) die 6 Oktaedr, + y=1, 2 +z:=1 2+y=| y+-uv=| vw-+r=1|], z+w=1. Der Abstand jedes Ecks vom Ursprung ist 1; jede Kante ist 1. Das Centrum des Oktaeders (e--y=1) ist ('/2, '., 0,0), sein Abstand vom Ursprung also

V+ gleich dem Radius der dem Oktaeder umschriebenen Kugel. Wir nennen dieses

Polyschem (3, 4, 3) nach der Zahl seiner Grenzoktaeder Eikositetraschem. Es hat 24 Ecken, 96 Kanten, 96 Dreiecke und 24 Oktaeder. Will man eines der 16 Ecken

ı 1 171 ; ; s (7: 3:70 5) als Axenende erscheinen lassen, so braucht man nur die Variabeln

mittelst der orthogonalen Formeln

=

seat ytrz ta), ISGE Hy gen, 2-30 ;3ytr2 sm, u= la ty —+z7+4w zu transformieren; die Determinante dieser Transformationselemente ist — 1. Eine andere orthogonale Transformation ist x = YE-2-+ y4.y ’ y=-Y}-2+Y4.y 2: = Ya W, we -Y3 2 +Y}-W);

im neuen Systeme sind dann alle 24 Ecken auf ähnliche Weise, z.B. durch (Yy+, Y+, 0, 0) dargestellt, hingegen von den Grenzkontinuen acht durch Gleichungen, wie x —=Yy+

und die 16 übrigen durch Gleichungen, wie « +y +2 + w= f2.

Man wird leicht erkennen, dass dieses Polyschem (3, 4, 3) eine Kombination des Hekkaidekaschems (3, 4, 3) und des sogleich näher zu beschreibenden Oktaschems (4, 3, 3) ist.

5. Das Polyschem (4, 3, 3) ist zum Hekkaidekaschem (3, 3, 4) reciprok; seine Existenz ist hierdurch schon bewiesen; es hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate und 8 Würfel, und möge daher Oktaschem heissen. Als Gleichungen der acht Grenz- kontinua kann man v= +1, x =+1,y=+l, z=+1 setzen; dann geben z.B. die Bedingungen w= -H1, —l1<z>1, —1<y<1i, —1l<z<L1leimen Würfel. Die Ecken sind (1,1,1,1), und alle übrigen, welche sich hieraus durch Variation der Vorzeichen ergeben. Das Oktaschem ist das vierfache orthogonale Paralleloschem, dessen Kanten alle gleich sind.

6. Die Existenz des Polyschems (5, 3, 3) ist schon durch seine Reciprozität zum Hexakosioschem (3, 3,5) bewiesen. Das es 600 Ecken, 1200 Kanten, 720 Fünfecke,

120 Dodekaeder hat, so möge es Hekatonkaieikosaschem heissen. Es giebt’ zwei Arten desselben, ein einfaches, das eigentliche (5, 3,3), und ein überschlagenes

(> 3, 3), welches von überschlagenen Dodekaedern (>; 3) umschlossen wird.

Ich lasse hier eine Uebersicht der Massverhältnisse der vierfachen regulären Poly- scheme folgen. Die Kante eines jeden ist als lineare Einheit angenommen. Es sei O das Centrum des Polyschems, AB eine Kante eines Grenzpolyeders, N dessen Centrum,

OA=R, NA=K, ON=r, Z4AOB=a; ferner sei = cos 7 der Radius der einer

Basis eines Ecks umschriebenen Kugel, K’ der Radius der einem Grenzpolyeder ein- geschriebenen Kugel, n die Zahl der Grenzpolyeder, P der räumliche Inhalt eines solchen, und S das Mass der vom Polyschem umschlossenen Totalität; endlich sei d der Winkel zwischen zweien benachbarten Grenzkontinuen, d. h, wenn aa+by+c+dw=r, ac+by+cz+du=r (w «++! d=1, d’+0b’+c?+d’=1) die

Gleichungen dieser Grenzkontinuen sind, so sei a@ -+bb +ce + dd’ = — cos d. Dann ist ; Pr R=egmaır=VR'—K,, K:, cotg I — 2,8=#P.

1. Pentaschem. e= VS, sa = — 2 — : K= V}.& - V%

V: 1 1 B fs u re R$ cos Ö = -., s-2 212 m,

: 7 3 1 2. Hekkaidekaschem. = V;. a= z k= nn K= 3’ K= Vz -V4-4 _ a «nt _2p

8. Einfaches Hexakosioschem. g= az Pen

cotg — —_ — sind=sin = sin ne ge me nn le) R*. 4. UWeberschlagenes Hexakosioschem. a=n, R= , n ‚de: 0) 5+2 cotg ie er j . . : _ Yy3 =, 71 Pe --V ER V+ Aue 1 5. Eikositetraschem. e=';,a=7; Reel Ks 5 KK = gır=lVo

=", S=2=2R“.

| _V3 _n = 3 SEE ET 6. Oktaschem. 0.3 u 7; h=]; K=7,K&K 99 er =, Sl | Ey Ey 7. Einfaches Hekatonkaieikosaschem. g= Vz Bet ‚ tang I er

2-1.) Be

f) = —

8. Ueberschlagenes Hekatonkaieikosaschem. tang 5 =

ee

2 2 2 5°

Wie das Eck des Polyschems (m, n, p) durch seine Basis (n, p) und den Wert von @ bestimmt war, ebenso ist das centrale Eck O, welches das Grenzpolyeder (m, n)

zur Basis hat, durch diese und durch den Wert von = bestimmt. Ist nun eines jener

äusserlichen Ecken mit irgend einem der centralen kongruent, so ist das jenem ange- hörige Polyeder geeignet, durch Aneinanderreihung die vierfache Totalität auszufüllen. Nun ist e (3, 3, 4) -5.8, 4, 3)= V: E (3, 4, 3) 2 z (4, 3, 3) = = ; o (4, 3, 3) —— 5 (88, 4). Die vierfache Totalität wird also stetig erfüllt: 1. durch Hekkai- dekascheme, indem deren 24 um eine Lösung herumliegen, und die oktaedrischen Basen der hier zusammenstossenden Ecken ein Eikositetraschem bilden, Charakter (3, 3, 4, 3); 2. durch Eikositetrascheme, indem deren 8 um eine Lösung herum- liegen, und die hexaedrischen Basen der vereinigten Ecken ein Oktaschem bilden, Charakter (3, 4, 3, 3); 3. durch Oktascheme, indem deren 16 um eine Lösung herum-

liegen, und die tetraedrischen Basen der vereinigten Ecken ein Hekkaidekaschem bilden, Charakter (4, 3, 3, 4).

%

$ 18. Keguläre Polyscheme der fünffachen und aller mehrfachen Teotalitäten.

Was in der fünffachen Totalität der Charakter (m, n, p, q) eines regulären Poly- schems bedeuten soll, ıst nach dem Vorhergegangenen wohl ohne Erklärung zu ver- stehen. Damit nun ein solches Polyschem existieren könne, müssen in der vierfachen Totalität die regulären Polyscheme (m, n,p) und (n, 9, a) schon existieren, und der Ausdruck

. v4 na . v(4 7 v4 7 (sin? — —- 008? =) (sin? — — cos? =) — c0s? — cos? — m n q p n p

muss positiv sein. Für ganze Zahlen m, n, p, q entsprechen diesen Bedingungen nur

a. Be

die drei Charaktere (3, 3, 3, 3), (3, 3, 3, 4) und (4, 3, 3,3). (Es giebt auch nur drei Charaktere, für welche der letzte Ausdruck verschwindet, nämlich (3, 4,3, 3), (3, 3, 4, 3) und (4, 3, 3, 3), welche, wie wir schon wissen, alle Arten anzeigen, auf welche die vier- fache Totalität durch reguläre Polyscheme ausgefüllt werden kann.) Die Existenz der entsprechenden Polyscheme ist leicht zu beweisen. Das erste ist die Pyramide mit lauter gleichen Kanten; das letzte ist das orthogonale Paralleloschem mit gleichen Kanten, und das zweite das reciproke des letzten.

Ueberhaupt existieren in der nfachen Totalität drei reguläre Polyscheme: 1. die Pyramide vom Charakter (3, 3, 3...3, 3), 2. das orthogonale Paralleloschem vom Cha- rakter (4, 3, 3...3, 3), 3. das diesem reciproke Polyschem (3, 3, 3...3, 4).

Es leuchtet auch sogleich ein, dass durch das Paralleloschem die Totalität erfüllt werden kann, und dass diese Erfüllung durch den Charakter (4, 3,3...3, 3,4) dar- gestellt wird.

Wenn nun für die (n — l1)fache Totalität nur die drei angeführten regulären Polyscheme existieren, so sind für die nfache Totalität nur vier Charaktere denkbar: 1. wo alle Elemente gleich 3 sind, 2. wo die n— 2 ersten 3 und das letzte 4 sind, 3. wo dieselben Elemente in umgekehrter Ordnung stehen, 4. wo das erste und letzte Element 4, alle übrigen 3 sind. Da aber der letzte Charakter die Erfüllung der (n—1)- fachen Totalität anzeigt, so giebt es auch für die nfache Totalität nur drei reguläre Polyscheme.

Da nun schon in der fünffachen Totalität nur die drei erwähnten regulären Poly- scheme existieren, so existieren überhaupt in der nfachen Totalität nur diese drei, sobald n>4 ist. Wir wollen nun diese regulären Polyscheme etwas näher betrachten.

1. Reguläre Pyramide. Die n—+ 1 Grenzkontinuen sind durch ebenso viele Gleichungen dargestellt. Zur Bildung eines ifachen Grenzkontinuums werden n —i von

diesen Gleichungen erfordert; es giebt e Kombinationen dieser Art; wenn also a, die Zahl der ifachen Grenzkontinuen bezeichnet, so ist aq,—= eo): Sind ferner S, B, I

resp. das Mass, die Basis und die Höhe der »fachen Pyramide, so ist nach dem Schlusse von $ 8:

BR 1 n+1l _1 = 1 n , ee an „Ph a

i 1 FOR ı ß ; ; folglich ı = nr = sin —, wenn a den Winkel bezeichnet, unter dem die Kante vom 1 ’ Centrum aus erscheint, also auch cos a = = 7 und, wenn d den Winkel zwischen

zweien (rn — l)fachen Grenzkontinuen bedeutet, cosd = m, Wird die Kante als lineare

Einheit angenommen, der Abstand eines Ecks vom Centrum durch R, derjenige eines

| A (rn — 1)fachen Grenzkontinuums durch r bezeichnet, so ist R= — = Vs re | gr (n+1l) ’: .

sın & 2 1 R 1 V/n+1)rt: 1 Med R=R- ee een Se, MEI, Da BEN en | Van) m er = R". Setzt man abkürzend — = cos d, ._— = cos6,, — 5 088 Öy... n = C086,_,., bezeichnet die Variabeln mit x,,%,...%,

und die Polynome der Gleichungen der Grenzkontinuen mit p, P1» Pa,--- Pm, so kann man setzen: 9,=%,,

x x IT ö x Pn_—_ _ cos 6 5 008 6, 7 00 7 — 008 6, 7. c08 z c08 — cos = cos = CoS =, X +—,, fürm=1,2,3,...n—1; c08 75 a En Pn_— _ c08d 0b A — 7 — 0080; = — +1. cos z cos — COS z cos =

Das durch die Gleichungen p=0, 9, =0, 9, =9... Pa-ı 79% Pat =9:.:P = 0 be- stimmte Eck hat dann folgende Werte der Variabeln:

d; y’

Imzı 2 .

| Ö ; 2 =, ===, La = 008, Lm+g2 = C0S 6, COS Ön_ .. Lu = 008 Ö,_, C08 = ‚ & = 008 Ö,-..

2. Reciprok-Paralleloschem (3, 3,...3,4). Sein Umschluss kann durch Gleichungen wie

ve... Kr = C080;_, COS

Hu" +Y}- 0 dargestellt werden, wo die Vorzeichen der Variabeln auf alle möglichen Arten zu vari-

ieren sind. Es giebt also 2” solche Gleichungen. Die Ecken sind z.B. x, = V Xg

=%,='''=z,.= 0; da die Vorzeichen der nicht verschwindenden Variabeln nach Be- lieben zu nehmen sind, so giebt es 2n Ecken. Irgend ein ifaches Grenzkontinuum geht durch + 1 Ecken, von denen keine zwei einander diametral entgegengesetzt sind;

sieht man von den Vorzeichen ab, so giebt es ) Kombinationen; die «+1 Vor- zeichen aber können auf 2°*! Arten variiert werden; folglich ist die Zahl der ifachen

Grenzkontinuen — 9Hı[ % ) — (; 14) : ; . : s R d Gilt die Kante als lineare Einheit, so ist a a cos; = V! ‚k= V; r= V}. 92 yn S= = Rr.

1.2... 1.2...

3, Reguläres Paralleloschem (4,3,...3,3). Sein Umschluss wird durch die 2n Gleichungen x, = +4 u = +t+,...2,= + + dargestellt, wenn die Kante als lineare Einheit gilt. Die Zahl der ifachen Grenzkontinua (lauter Paralleloscheme) ist

a, = 2""' (;)- Eines der 2" Ecken ist (x, = +, 2, = 5,-..%,”= 5); die übrigen erhält

man durch Variation der Vorzeichen.

Zweiter Teil.

Lehre von den sphärischen Kontinuen.

$ 19. Einleitung. — Begriff der Polysphäre, Mass derselben und ihres

Umschlusses.

Dieser Abschnitt ist der Betrachtung des nfachen Integrals P,=f "dxdydz. ai begrenzt durch 2? —+y?—+---<1 und durch n lineare und homogene, unter sich unab- hängige Polynome, welche z. B. nie negativ werden dürfen, gewidmet. Obschon P, zu- nächst als Funktion der nn Koeffizienten dieser Grenzpolynome erscheint, so ist doch

leicht zu zeigen, dass nur - n (n — 1) Unabhängige vorhanden sind, die sich immer

gleich bleiben, welche orthogonale Transformation auch mit den Variabeln vorgenommen werden mag; eine solche Unabhängige ist nämlich die Summe der Produkte der gleich- namigen Koeffizienten je zweier Grenzpolynome, vorausgesetzt, dass die Summe der Quadrate der Koeffizienten eines jeden Polynoms der Einheit gleich sei. Wird fürn=2 das Integral P, geometrisch aufgefasst, so stellt es den Inhalt eines Kreisausschnitts dar, und die einzige Unabhängige ist der Kosinus des Mittelpunktswinkels; wir werden der Konsequenz wegen in diesem Falle eine notwendige Integration annehmen, da der Ausschnitt, oder, wenn man lieber will, der Kreisbogen eine transcendente Funktion seines Kosinus ist. In diesem Sinne können wir sagen, dass das ursprüngliche nfache n—1 =, mensionszahl n gerade oder ungerade ist. Es wird sich nämlich zeigen, dass im letzten Fall das Integral P,,;, als lineare Funktion von Integralen Pu Pın-aı--:- Pu P, dar- gestellt werden kann. Während diese Reduktion ungerade Dimensionszahlen betrifft,

Integral P, nur 5 oder notwendige Integrationen erfordert, je nachdem seine Di-

bringt eine andere nicht minder merkwürdige die Zahl n n (n— 1) der Unabhängigen auf

n —1 herunter. Die allgemeine Funktion P, kann nämlich auf n Arten als ein Ag-

gregat von 1.2.3.4...(n— 1) speziellen Funktionen Q, dargestellt werden; wenn

bei einer solchen Q, die Grenzpolynome passend geordnet sind, so ist die Summe der

Produkte der Koeffizienten je zweier benachbarter im allgemeinen eine von Null ver-

schiedene Unabhängige, die Zahl dieser Unabhängigen demnach » — 1; alle anderen 8

eu. AERE zu

Produktsummen dagegen sind Null. Nachdem einige diese besondere Klasse von Funk- tionen betreffende Sätze, finite Relationen zwischen denselben enthaltend, bewiesen und zu Wertbestimmungen benutzt worden sind, werden diese letzten noch mit Hilfe der regulären Polyscheme des vorigen Abschnitts verifiziert, und nehmen wir hievon Anlass, ganz besonders die Theorie der regulären Polyscheme der vierfachen Totalität zu ver- vollständigen.

Erklärung. Sind x,, &,...., x, orthogonale Variabeln, so ist die durch die

Bedingung

tr bzo? umschlossene Totalität eine n-Sphäre oder Polysphäre; a ist ihr Radius, und die Lösung mit den Nullwerten sämtlicher Variabeln ihr Centrum. Demnach würde der Kreis Disphäre, die Kugel Trisphäre heissen.

Wir sagen, eine Lösung sei innerhalb, auf oder ausserhalb einer Polysphäre, wenn ihr Abstand vom Centrum kleiner, gleich oder grösser als der Radius ist. Das (n -- 1)fache höhere Kontinuum, welches alle auf der Polysphäre befindlichen Lösungen enthält, also dieselbe umschliesst, heisst totales sphärisches Kontinuum; ein Stück desselben, welches von (n — 1)fachen durchs Centrum gehenden linearen Kontinuen begrenzt wird, sphärisches Polyschem, und im Besondern Plagioschem, wenn die Zahl der begrenzenden Kontinuen n ist. (Dieses ist nämlich die kleinste Zahl, wo die Eigentümlichkeit der n-Sphäre sich offenbaren kann; für eine noch kleinere Zahl be- grenzender Kontinuen sinkt das Polyschem, als analytische Funktion betrachtet, auf eine niedrigere Stufe herab.) Die einzelnen Stücke, aus denen die ganze Begrenzung besteht, nennen wir Perischeme, und zwar haben wir zunächst (n — 1)sphärische Peri- scheme, deren jedes wiederum von einer Menge (n — 2)sphärischer Perischeme begrenzt ist, u.8. f£ Die disphärischen Perischeme endlich mögen Seiten und die monosphäri- schen Ecken heissen.

Jedes Element des sphärischen Kontinuums ist zu seinem Abstand vom Centrum (seinem Radius) normal, weil

x, de, +29 da, +: +2,da,= 0 ist; seine Projektionsfaktoren sind also

T Lg Ta, a D) a yoor.. a N) daher kann es durch a a „ de, day ...den, z.dr day day... dern. 1 2 ausgedrückt werden. Setzt man | x =1r0089,, %, =rSINP, COSQ,, A = rSINQ, SINP, COS P,,..., ru, =rSINnQp, SNQ,...SINPy-, COS Pyr--.. 0.9, 2, =TSMP SNP,SINP,...SMQp,-ı;

so heissen r, @,, P5, - -

9

„@,„-ı sphärische Variabeln.

Variiert man immer nur eine

dieser neuen Variabeln, während alle übrigen konstant bleiben, so durchläuft die Lösung

die Wegelemente

dr, rdg,, sing, dg,, rsinp, sing, dg,,..

deren Projektionsfaktoren das orthogonale System

COS P,, Sin @, COS 95, SIN P, SINP, COS Py,- -. , SINPLSIN Yy SINQ,...SINP„_3 COSP,„.., , SINP, SIN Pg SIN P5..- -SIN @u_g COS Pn_; , COSP, SINP5 SIN@z... COS pg SIN @5 --

C0SQ; ...

— sin Q,, COSp, COS Py, COSP, SINY, COS py,

0%, —sing, COS Py COS Py,.- 0, 0, =: sin 95 ..e ) 0,

bilden.

r""' sin""”Q, sin

O,:.::

n—3

..., COSQ, Sin 4 SIN 5...

’

2 COS; SIN 5... } COS 93...

sin @u_g COSQ,_, , sin @u_g COS @u_ı »

— sin ni;

Pr ...-SiN?p,.;,Sinp,_.drdp,dgp,...dp,.-1

..o Y sin 9, sin 9, ..e sin O1-2 d 9.-13

sin 9.9 SIN @._ı » sin On-3 sin Pn-1

.SINn p„_g SINQ„_ı »

sin P,_3 SIN Pn_ı »

COS Pu _1

Das Element dx, dx, ... dx, der Totalität verwandelt sich demnach in

und, wenn man hier den Faktor dr weglässt, so hat man einen Ausdruck für das

Element des sphärischen Kontinuums vom Radius r anstatt des früheren — dx, dx, ... dx, ı

Ist nun

K= | da, dx, ... dx,

, S=

(+23 -+..-+a22<u?) d.h. sind X, S die Masse der Polysphäre und des totalen sphärischen Kontinuums, so

hat man auch

N

— —

S:

0

oder, weil

ist,

Füra=1undn=4,5, 6 ist S resp. Zr,

RK

a" f sin”, do, f sin”9,d9,...

0

K= a ” sin”"ody = 0 B2 In? 1 K

w| oo

n—i S: dx, dx, .... dx, ats te Hm

x ar | sin g..d9..., [dyı- 0 0

L

a?)

==. 60

S$ 20. (regenseitige Abhängigkeit der Stücke eines sphärischen Plagioschems. Es sei 2 -+23-+----+x22=1 die Gleichung des sphärischen Kontinuums,

a,

de, dr dirz...dırn .dırn s-|

das Mass eines Teils, welcher alle den Bedingungen p, > 0,P, > 0,..., Pa> o genügenden Lösungen enthält, wenn 9,, Ps, ...,?„ unter sich unabhängige lineare und homogene Polynome bezeichnen. Es steht frei, anzunehmen, dass in jedem Polynom die Summe der Quadrate der Koeffizienten gleich 1 sei. Dann sei z. B. — cos (12) die Summe der Produkte der gleichnamigen Koeffizienten in den Ben Pı, Ps, und (12) heisse der

Winkel dieser zwei Polynome. Es giebt im ganzen Zn (n — 1) solche Winkel (12), (13),...((an — Dn); ich a sie die Argumente des Plagioschems S; sein Mass ist eine Funktion von nur diesen PL (n — 1) unter sich unabhängigen Argumenten. Denn die Zahl aller unter sich Ben Elemente der n Polynome p ist n(n — 1), und,

; ' 1 RER,“ s wenn man hievon die Zahl PL (n — 1) der unabhängigen Elemente einer orthogonalen

Transformation abzieht, so bleiben nur 5 n (n -— 1) wesentliche Elemente des Plagioschems übrig; als solche können wir Bau jene der Zahl nach übereinstimmenden Argumente annehmen.

Das (n— m)fache lineare Kontinuum, das durch », = 0,9, = 9... Pın-ı = 0, Pn=0

bestimmt ist, werde durch (123...m) bezeichnet. Man kann die Variabeln immer so orthogonal transformieren, dass für dieser Kontinuum ın der neuen Variabeln verschwinden. Man unterdrücke dann diese Variabeln in den Polynomen pa+ı 3 Pte sr»: Pm, dividiere jedes durch die positive Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der in ihm übrig gebliebenen Koeffizienten und bezeichne sie dann mit

»(123...m,m +1), p(123...m,m-+2),...,p(123...m,n) als Grenzpolynome- des (n — m)sphärischen Perischems 8 (123... m); die Winkel dieser neuen Polynome oder die Argumente des. von ihnen begrenzten Perischems mögen z.B.

durch (1 23...m, (nn +1) (n-+ 2)) dargestellt werden. Ihre Zahl ist ge und da (1) die Zahl aller (n — m)sphärischen Perischeme von $ ist, so kommen an diesem im

im ganzen (") ")-G ) Stücke der erwähnten Ordnung vor ((n — m)sphä-

rische Stücke). Gegen das Ende treten Kugeldreiecke, wie (45...n), auf; die Argumente eines solchen (trisphärische Stücke) sind seine Winkel (45...n, 23), (45...n,13), (45...n, 12). Endlich kommen Kreisbogen (disphärische

Er,

Stücke oder ee wie (345...n), von denen jeder selbst sein einziges Argument ist; d.h. es ist 5 (345. ..n)= (Bir ..2,12); hingegen S(45...n BERN ..n,23) -4-

(45... N. Da die Zahl der Seiten > n (n — ])

ist, so kann man das Plagioschem S auch als Funktion seiner Seiten fassen: Dia Zahl aller seiner Stücke mit Einschluss der Argumente und Seiten ist

m=n—?2

AH EHE

Ihre Abhängigkeit von den Argumenten ist folgende. Da man die Variabeln immer so orthogonal transformieren kann, dass in den drei Polynomen p,, P,, pP; nur drei Va- riabeln erscheinen, so kann man die Argumente (23), (13), (12) als Winkel eines Kugel- dreiecks auffassen, welches die (n — 1)sphärischen Stücke (1,23), (2,13), (3,12) zu Seiten hat; diese sind somit durch die bekannten trigonometrischen Relationen in Funktion jener gesetzt. Man kennt also alle n — re Stücke in Funktion der Argumente. Wiederum sind z.B. (1,34), (1,24), (1,23) als Winkel, und (12, 34), (13, 24), (14, 28) als entsprechende Seiten eines Kugeldreiecks anzusehen und dadurch mittelbar alle (rn — 2)sphärischen Stücke in Funktion der Argumente gesetzt. Dies geht so fort, bis endlich die Seiten in Funktion der Argumente gefunden sind. Es ist klar, dass die Supplemente der Argumente dieselben Funktionen der Supplemente der Seiten sein werden, wie die Seiten von den Argumenten sind.

Um diesen Vorstellungen ein analytisches Gewand zu leihen, suchen wir zuerst ein Grenzpolynom eines Perischems so auszudrücken, dass wir keiner Transformation der Variabeln bedürfen. Denkt man sich im Ausdruck eines solchen die anfänglichen Variabeln restituiert, und ist die Ziffer : von 1, 2,...nı verschieden, so muss man setzen

o.p(12...m, ET WEN AD ee er A) die Faktoren A sind dann durch die Bedingung bestimmt, dass das neue Polynom zu jedem der m Polynome 9, , Pa,---?m orthogonal sein muss, also zusammen mit o durch die Gleichungen:

1—0o°— A, cos (tl) — 4, c08 (it 2) --...— A, cos (im) = 0, —cos(li) +4, — A, cos (12) — ... — 4, cos(lın) = 0, — cos (2:) — A, cos 21) +4, —...—4A,„cs2n)=0,). . (2) — cos (m i) — A, cos(m1) — A, cos(m2)— ..... + A, —

Gehen :, 0, 4 in k, o, u über, so ist offenbar die Produktsumme der Koeffizienten der Polynome , +4, 9, 4 +4, 2m und Mr -H 1, Pı 4°" + un 1m gleich, wie wenn das zweite Polynom bloss durch p, ersetzt wird, da die Polynome 9,, Ps, -.-?„ zum ersten orthogonal sein sollen. Man hat demnach

06c0os (12...m,ik)= cos(ik)-+Acos(1%)-+A, cos (2%) +... 4-4, cos (nk).

- 9 —

Bringt man in dieser Gleichung alle Glieder auf die linke Seite und setzt sie dann im Systeme (2) an die Stelle der ersten Gleichung, so wird man durch Elimination der Grössen A den Wert von eocos(12...ım,ik) bekommen, während der von e? sich unmittelbar aus (2) ergiebt, und der von 0? aus diesem durch Vertauschung von i und k. Setzt man abkürzend

4(,123...m) —= !— cos (ik)- — cos (il)- — cos (i2)- — cos (£ 3) +» - — cos (i m) — cos (1k)- l -— cos (12)- — cos (13)---— cos (lm) — cos (2k)- — cos (21)- 1 -— cos (23)... — cos (2 m) — cos (m k)- — cos(m 1) - — cos(m2) - — cos (m 3)... 1 | und hiefür einfach / (?123...m), wenn k=i und daher cos (ik) = — 1 ist, so hat man

4(123...m).e6cos(12...m, ih) +a(} 123...n)= 0,

I(i123...n)—0?4(123...m)=0, A(k123...m) —06°?4(123...mn)=0, und hieraus

al, 123...m) Yaa123...m) YA(k123...m) wo die Quadratwurzeln positiv zu verstehen sind, weil in der Gleichung (1) für p, = o,

(3)

cos (12...m,ik)=

P = 0... Ppm = 0 die Polynome p, und p (12...m, i), grösser als Null gesetzt, dieselbe Grenzbedingung ausdrücken sollen, wodurch oe (und ebenso «) notwendig positiv werden. Die drei in diesem Ausdruck vorkommenden Determinanten sind reciproke Elemente der symmetrischen Determinante 4 (ik123... m); und wenn wir diese auf leicht verständliche Weise durch die Ziffern der fehlenden Horizontal- und Vertikalzeile bezeichnen, so be- kommen wir

Üle]eos 137,0 = [][%]

; ke] sin? (12...m,ik) = ;] |: = A(ik11...m) [x];

oder I(ik123...m) d( 123...m) (4) ad 123...m) A(kl23...m)' "tt. Man kann diese Formel auch durch Betrachtung eines Paralleloschems beweisen, dessen Kanten zu den linearen Kontinuen (1), (2 Ener (m te); (%) normal sind. Der hierzu erforderliche Satz würde heissen:

Das Mass eines »fachen Paralleloschems ist gleich dem Produkt zweier begren- zender (n —1)facher Paralleloscheme, welche in einem (n — 2)fachen Paralleloschem sich

sin? (12...m,ik) =

4

2. PB u

schneiden, dividiert durch dieses letzte, und multipliziert mit dem Sinus des von den beiden ersten gebildeten Winkels. Um ihn zu beweisen, bezeichnen wir die erwähnten vier Paralleloscheme mit ?, A, B,C, den Winkel zwischen A und B mit ©, betrachten A als Basis von P, und C als Basıs von B, und setzen Ah, %k als entsprechende Höhen. Denkt man sich nun das Paralleloschem P von einem auf C' normalen zweifachen linearen Kontinuum geschnitten, so liegt in diesem ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse k, der Winkel, dessen Scheitel in C fällt, ©, und die gegenüberliegende Kathete h ist. Es ist also h=ksin®. Aber P=Ah, B=Ck. Also ÜP=ABsind®. Die independenten Formeln (3) und (4) verwandeln sich in bekannte Relationen der sphärischen Trigonometrie, wenn m» = 1 angenommen wird. Die erste z. B. giebt a: cos(ik) + cos(li)cos(1k cos (1, iN= ee Das orthogonale System der Variabeln kann immer so gewählt werden, dass die Grenzpolynome in folgender Gestalt erscheinen:

Pı = %ı

Pa = — , c08 (12) + x, sin (12),

PD, = — u, 008 u — x, sin (13) cos (1, 23) + x, sin (13) sin (1,23),

Pm = — X, 608 a m) — x, sin du A cos Gi, me — 7, sin ee sin n be cos (13, Im) —

mn mm nn U nn

..— X, sin(1m)sin (1,2m)sin(12, 3n)...sin(123...(m—3), (m—2)m) cos(12...(m--2), m-1n) + x, sin (1m) sin (1,2m) .... sin (12...(m—3), Ale, Br sin pr Bu ne r - 1)m),

Bei Aidssr -Darelällang H ‚ie Lösung ( Bed e 1) ds EL (123...(n— 1)) zu bezeichnende Eck des Plagioschems S; nennen wir dieses Spitze

A, so entspricht ihr das Perischem (n) als Basis. Von A aus gehe ein Strahl normal zum linearen Kontinuum der Basis (p,= 0) und treffe dieses in der Lösung B; die Länge des Strahls oder der Abstand AB der Spitze vom linedren Kontinuum 9, = 0 sei sink. Vom Centrum O aus gehe ein Radius durch B und treffe die sphärische Basis selbst in C; diese Lösung heisse Fusspunkt; der Kreisbogen, welcher A und C ver- bindet, ist A und soll Höhe heissen. Endlich sei P irgend eine auf der sphärischen Basis befindliche Lösung, $ ihr sphärischer Abstand von der Spitze A oder der Winkel der Radien OA und OP. Da wir jetzt nur drei Strahlen OA, OC, OP vor Augen haben, so können wir uns durch dieselben ein lineares dreifaches Continuum (Raum) gelegt denken, und die Lösungen A, C, P werden als Ecken eines rechtwinkligen Kugeldreiecks erscheinen, worin AP=9 die Hypotenuse ist. Ist der Winkel APC=O©, so ist sin h =singsin® Um P herum liege ein unendlich kleines Element 6 der sphärischen

en le

Basis; alle darin enthaltenen Lösungen werden mit der Spitze A durch Kreisbogen ver- bunden; dadurch entsteht ein partielles sphärisches Kontinuum, welches die einzige end- liche Ausdehnung von A bis P hat, während die übrigen unendlich klein sind. Wird nun dieses in P normal durchschnitten, so ist der Querschnitt ein (n — 2)faches unendlich kleines Kontinuum, dessen Mass o sin © beträgt.

Da AB = sin" der der Spitze entsprechende Wert des Polynonis p,, so ist nach (5)

sin=sin(1n)sin (1,2 n) sin(12,3n)....sin(12 ... (m — 3), (n—2) n) sin(12...(n —2,(n-1)n), (6) wo die Ziffern 1, 2,3,...n —1 permutiert werden dürfen; die Werte des Fusspunkts C’ sind:

an —

x, =tangh cos(1n), x, = tang I sin (1n) cos (1, 2n),..., m = cos h.

$ 21. Hilfssatz.

Wird jedes Element des n-sphärischen Plagioschems S mit dem Kosinus seines sphärischen Abstandes von der Spitze multipliziert, so ist die Summe dieser Produkte der (n—1)te Teil des Produkts des Masses der Basis und des Sinus der Höhe.

Beweis. Es seien

& =SnP.2%, % =5MP.%y:.., Zu = SUP. L_, u = 008 9, so wird das Element des sphärischen Kontinuums

x sin”pdp.o, wo w das äquatoriale Element bezeichnet, welches man auch durch dxı\ıdz!...das_ ..o ’ ’ ] D re 1 1 Anl 2 ul a a - “f ausdrücken kann. Wenn wir nun das Integral amt ,n—2 cos p.sın""pgdp.o® bestimmen wollen, so setzen wir zuerst &, 73, - . - x,-ı als konstant voraus und integrieren von g= 0 bis zu dem durch die Basis p, = o bestimmten Werte von , für den wir diesen Buchstaben behalten wollen. Wır bekommen Tine ©) n—1, F i oder, da, wie wir oben gesehen haben, für eine auf der Basis befindliche Lösung P der normale Querschnitt Ä . - . . 10] sin""9.0=snQ.6=sinh- — — sing ist, zuletzt i en: sinh p"”

cs .n""odpy.o= a 0,

d. h. gleich dem (un — Dten Teile des Sinus der Höhe, multipliziert mit der Basis.

3 —

S$S 22. Mass eines sphärtischen Plagioschems.

Satz. Die in Beziehung auf die Argumente genommenen Differential- koeffizienten des Masses eines n-sphärischen Plagioschems sind gleich den Massen der mit den Argumenten gleichnamigen (n — 2)-sphärischen Peri- scheme, dividiert durch n — 2:

14

dS-= S ” 12JAAd+SABY) AA) +: -+S (lm —ıiIn)d(n-— 1)n) |

Beweis. Um das einzige Argument (12) zu variieren, variieren wir nur das Polynom »,, die Darstellung (5) in $ 20 voraussetzend. Dasselbe verwandle sich in I+k)s +0 tk, 0% +. +, Im

wo hy, dÄy,... k, unendlich kleine Grössen bezeichnen. Da die Summe der Quadrate der Koeffizienten gleich 1 bleiben und die Argumente (15), (14),.... (1 x) konstant sein sollen, so hat man n—1 Bedingungsgleichungen, welche gerade hinreichen, um die n—1 Ver- hältnisse A, :Ahy:...:k, zu bestimmen. Die erste Gleichung

U a 0 reduziert sich, da es nur auf unendlich kleine Grössen erster Ordnung ankommt, auf 2k, = o. Dann sind aber sämtliche Bedingungsgleichungen gerade so beschaffen, wie wenn die Werte der Variabeln für das Eck (1345... n) zu bestimmen sind. Versetzen wir uns aber in das (n— 1)-sphärische Kontinuum (1) hinein, indem wir die durch a bezeichnete Dimension aufheben, und fassen (12) als Basis des Perischems S (1), folglich jenes Eck als dessen Spitze auf, so tritt der für diese geltende Wert von x, als Sinus

der Höhe, sin h, auf. Da man ferner für den Winkel zwischen dem variierten Polynome pP = %& then, +h, &%, +4 h,x, und dem unveränderten Polynom

Pg = — x, cos (12) + x, sin (12) die Gleichung

— cos ((12)+d(12)) = — cos (12) + \, sin (12) hat, so muss /\, = d (12) sein. Folglich verhalten sich \,,%,,...%k, zu den gleich- namigen der Spitze (1345... n) zukommenden Werten der Variabeln, wie d (12): sin A. Ist nun @ der sphärische Abstand der Spitze von irgend einer im Perischem S (1) ent-

haltenen Lösung (0, x, X, - - - 2.), so ist demnach

+4. +, = => d(2),

sin A und das partielle n-sphärische Kontinuum dS bekommt ausser den Grenzen von S (1)

noch die unendlich nahen Grenzen: ursprüngliches p, < 0, und variiertes p, > o, oder

cos ae YES,

sind

— 66 —

cos p oder o<— Tr, > 2, dA(12). sin A Weil somit z, unendlich klein ist, so sind im Ausdruck für dS die auf 2, 7,,:-.. 7, bezüglichen Integrationsgrenzen so zu nehmen, wie wenn 2, = o wäre, also dieselben

wie für das Perischem S (1). Integriert man nun die Formel für d S in Beziehung auf x, so ergiebt sich d.S gleich der Summe sämtlicher Elemente von S (1), jedes multi-

.. . cos ne . pliziert mit en d(12); und dag der sphärische Abstand dieses Elements von der

Spitze (1345... n), %0 ist nach dem vorigen Hilfssatz:

>. Basis S (12).sink = = s{12).d(2).

dl?) sin Z n—ı n—

dS=

Bemerkung. Diese Form des Satzes hat das Unbequeme, dass man ihn nicht

bis auf 0» = 2 hinunter verfolgen kann. Dies wird jedoch durch eine leichte Umge- staltung möglich gemacht.

Es sei , v I 0 U 5 Urea dl

0 —.. 3 + [ . “ el RE << 1 Pyı >, Pa > 9%... >o

ein von n durchs Centrum gehenden linearen Kontinuen begrenztes Stück der »-Sphäre, das wir allenfalls »-sphärische Pyramide nennen können, so ist offenbar

jr 1 P=S8 | r""dr, oder P= —, 8. ‘o Bezeichnet dann z.B. P{12) die im (n — 2)fachen linearen Kontinuum (p, = 0, pP -= 0) befindliche (n» — 2)-sphärische Pyramide, so ist ebenso an 1 — +: P(12) = —- Ss).

Nn—)

Wenn man also im gegenwärtigen Satze sphärische Pyramiden statt der sphärischen Plagioscheme einführt, so erhält man

Ipi2)a (12) + P(I3B)AA®) + --- 4 Plnm—1)n) d(n--1) Dip

dp:- | n \ Setzen wir jetzt n- 2, so wird die disphärische Pyramide zum Kreisausschnitt,

; l h \ f ; : und in der Formel AP -, P‘L2)d«(12) bezeichnet (12) den Mittelpunktwinkel und

y/ co: R ı Du . . . . P 12} das Mass des nullfachen Kontinuums, welches die begrenzenden Radien (p, -o. P, -0) Innerhalb des Kreises gemein haben, d.h. das Mass des Centrums. Nun sind

En 7 Eu

leicht Gründe aufzufinden, die uns berechtigen, 1 als Mass einer nullfachen Totalität

anzunehmen. Wir bekommen also d P= e d(12), und durch Integration P= e (12),

als Inhalt eines Kreisausschnitts vom Radıus 1. Setzen wir n — 3, so wird die trisphärische Pyramide zur Kugelpyramide; in der Forniel

a P=+ [PM aı 94 PÜB)auıy +PÜAs)a@H!

sind (12), (13), (23) die Flächenwinkel der Pyramide oder die Winkel des Kugel- dreiecks S; P (12) ist das Mass des einfachen Kontinuums (p, = o, p. — 0), welches durch die Bedingungen p, > o und x? -+-x3 + „3 < 1 begrenzt wird, d. h. das Mass des vom Centrum nach dem Eck (12) gehenden Radius, also gleich 1. Bezeichnen wir die

drei Argunıente mit «, ßB,y, so ist demnach d P= En (d& --dß-+ dy), Um die Inte-

3 grationskonstante bestimmen zu können, lassen wir P verschwinden, was dadurch ge- schielt, dass wir p, = pP; = — P, annehmen; dann wird aber (12) = x, (13) = (23) = 0.

Wır haben also

Pe ” (e+ß+y7— r), odr: S=e+ß+y— z,

wenn 5 das Mass des Kugeldreiecks bezeichnet.

Von jetzt an halten wir uns wieder an die erste Form des Satzes. Für n -4 oder für das tetrasphärische Plagioschem $ ist das disphärische Perischem $ (1 2) ein Kreisbogen, dessen Mass mit seinem Argument (12,3 +4) ein und dasselbe ist. Also ıst

1S— - (1 3,34) A(12)+(13,24)d(13) -+ (14,28) a4) + (23,14)4(23)

1(24,13)4EN) +84, 12) ABA),

oder: das Mass des tetrasphärischen Plagioschems hat seine halben Seiten zu Differentialkoeffizienten. Sind diese Seiten unendlich klein, so verwandelt sich S in eine dreiseitige Pyramide des Raums; man kann nun wirklich nachweisen, dass das Integral des vorliegenden Ausdrucks sich alsdann auf die bekannte Formel für den Inhalt einer räumlichen Pyramide reduziert.

Für das pentasphärische Plagioschem $ wird das trisphärische Perischem (1 2) zum Kugeldreieck, dessen Mass gleich der Summe seiner Winkel weniger ;c ist. Die Funktion S hat 10 Argumente, und von den bezüglichen Differentialkoeffizienten ist z. B.

98

dla) 3 | (12,34)-4:(12,35)-1:(12,45) — sl,

— 68 0 —

und, wenn man die 30 Glieder wie (12,34) dt12) nach den Kombinationen (1234) vierter Klasse ordnet: 348-112, 34) 4(12)4- (13, 24) a(13)-+ (14, 23) (1 9) + (23, 14)24@3)-- (24, 13)4@4)+ 64, 12)A@ N \-H etc. — ad 1) 4-A) + +ai)] = 241 $(1234) + $(1235) + S(1245) + 8 (1345) + s(2345)\ — ad AHA) +5)

wo 5 (1234) z.B. ein tetrasphärisches Plagioschem bezeichnet, dessen Argumente (12), (13), (14), (23), 24), 84) sind. Um die Integrationskonstante zu bestimmen, nehmen wir an, alle Argumente des pentasphärischen Plagioschems seien rechte. Dann wird

Na? A In? n?

l s12349)=- 5... =, S13)=- .=5,

und wir bekomnien n” In® 5)

Pa ie \E 5 -1- Const., also Const. = 4 ir”,

und endlich 2 @ er . r ‘ S(12345)= 182 345) +8(1345)-+- 8(1245) 4-8(1235)-+- 0 (123 N

nn 1% ! Fe W ‘ .) ” ! » Fr “ ’ dn? —5 [129 + AAN FEIHEHNL+EITCHFEHFHAN] I Wir sehen hieraus, dass, wie das Mass des Kugeldreiecks auf Kreisbogen zurückkommt, so dasjenige des pentasphärischen Plagioschems auf tetrasphärische Plagioscheme und Kreisbogen. Wollten wir diese Wahrnehmung weiter verfolgen, so würden Gamma- funktionen und Potenzen von ;z den an sich einfachen Satz „über die Reduktion perisso- sphärischer Plagioscheme auf artiosphärische“ *) ohne Not verwickeln. Wir ziehen es daher vor, zuerst statt der allgemeinen Masseinheit eine besondere für sphärische Plagio- scheme passende Einheit einzuführen, von ähnlicher Bedeutung wie die des Quadranten für Kreisbogen.

S$ 23. Plugioschematische Funktionen; reduzierbare Fälle von Orthogonaltät

Wır setzen fortan

| dedydz... = f(123...)xX | drayde... ee ee Bu Pı >09... Pan > 0 X D>DOUYU>0O,.».

*, [Die Ausdrücke „perissosphärisch* und „artiosphärisch“ werden 8. 70 erklärt.)

we N Ge

oder, was dasselbe ist

”

P(123...n)-=;, REIN AU EL Beea?) (123...) 3 1 füu23...n),

und nennen f(123...n) eine n-sphärische plagioschematische Funktion, 9, Par - - + Pr ihre Grenzpolynome, und die von diesen gebildeten Winkel (12),... ihre Argumente.

Jede solche Funktion bekommt die Einheit als Wert, wenn alle Argumente -- sind.

Es ıst dann z.B. j Sa9= (2), F23) SAY) +SA)+LEI- 2 (12345): f(2345) 4 ete. — 2 1/13) + ete. | 116.

Da en N :) nl: m (n— 2)- = ist, so wird die allgemeine Differentialgleichung

1? x:

des vorigen $: df(123..n)=f(12,34...n) dfA2)-Hf (13, 245...) df(18)-1- etc.

Nehmen wir jetzt an, jedes der m ersten Polynome 9,, ?., - - - ?_ sel zu jedem

der übrigen Pas+ı» Pmtes 2m orthogonal. Man wird überhaupt die Variabeln so wählen können, dass in jenen nur die m Variabeln x,, x, . .. x, erscheinen. Kämen

nun diese auch in einem der folgenden Polynome vor, so würde aus den entsprechenden mn ÖOrthogonalitätsbedingungen das Verschwinden der Determinante der Koeffizienten jener ». ersten Polynome folgen, was wir nicht zugeben dürfen, da diese unter sich un- abhängig sein sollen. Also können die n — m letzten Polynome nur die übrigen Va- riabeln 241» Amis - 7, enthalten. Es sei nun

or Ger rg ter my NINE I Fe IH

und man denke sich die m ersten Variabeln, also auch ®, zuerst als konstant, und die Integration nur in Beziehung auf die n — m letzten Variabeln vollzogen, so werden die auf diese bezüglichen linearen Integrationsgrenzen durch die Einführung der Variabeln y nicht geändert, und es kommt noch die Grenze yP + y3 +» -+ _„ < 1 hinzu Da das Produkt dx.;;, dmtz. dr, sich in

sin" .dydys..: dAYa-m verwandelt, so hat man:

” >»

P(123...n)=f((m +1) (m-+2)...n)x ) sin" 9 dr, day... day dyı Ayo Yan (Pı >9, P2>0..-Pn> 9, Yı >09, Ya > 9... Yn -m>0) — f (km +1)(n +2)... n) x ) U2: WI, I U er ; (9 >%::.Pm > 9 Ami >09: n > 0)

Denkt man sich hier die vn — m letzten Variabeln #41, Anja - - - Zu zuerst als konstant, und die Integration nur in Beziehung auf die m ersten Variabeln vollzogen, so erhält man auf demselben Wege wie vorhin:

P(123...)=f(lm +) (m+2)...n)xf(23...m)x wu Ude, : (d+= ee x >0,T%2 > 0,...4n >0 also endlich:

Fa23...n)=f(123...W) (m + D(m-H2)...n);

d. h., sind m Grenzpolynome einer „-sphärischen Funktion sämtlich zu den n — m übrigen orthogonal, so ist dieselbe das Produkt der von jenen begrenzten m-sphärischen Funktion und der von diesen begrenzten (n — m)-sphärischen. Hierbei ist zu bemerken, dass (1) =1, weil auch für die Grenzen 2" <1l,x2>o, [dx=l1iıst. Wenn also das erste Grenzpolynom zu allen übrigen orthogonal ist, so hat man f (123...n)=f(234...n); und wenn überhaupt die m ersten Polynome nicht nur zu allen übrigen, sondern auch

alle unter sich orthogonal sind, so hat man f(123...2)= f((m-+ 1) (m +2)...n).

Wenn zwei plagioschematische Funktionen sich bloss dadurch unterscheiden, dass ein bei der ersten positiv genommenes Grenzpolynom bei der andern negativ genommen wird, so ist die Summe dieser Funktionen doppelt so gross als die nur von allen übrigen Polynomen begrenzte Funktion; oder

SW Po PP) fl Pr Pe Pas: PD) = 2 (Dar Par - - - Po).

Wenn man sich nämlich die zwei ersten Funktionen durch die entsprechenden Integrale ersetzt denkt, so ist deren Summe ein ähnliches Integral, worin die Grenzbedingung p, > 0 oder — p, > 0 wegfällt; diese Summe bleibt sich daher gleich, wenn auch das Polynom p, sich ändert, z. B. zu allen übrigen Polynomen orthogonal wird; dann hat aber jede der Funktionen, aus denen die Summe besteht, den Wert f (234...n); folglich ist diese 2 f(234...n).

$ 24. Reduktion der perissosphärischen Plagtoscheme auf artiosphärische.

Uin die zwei Fälle einer geraden und einer ungeraden Dimensionszahl zu unter- scheiden, gebrauchen wir die Ausdrücke Artiosphäre und Perissosphäre. Wir haben schon gesehen, dass die trisphärischen und pentasphärischen Plagioscheme sich linear durch artiosphärische Plagioscheme niedrigerer Ordnung ausdrücken lassen, und stellen nun folgenden allgemeinen Satz hin:

Wenn f,,„., eine von den Polynomen p, Pass - - - Pan+ı begrenzte plagio- schematische Funktion ist, und man mit I /,„ die Summe aller 2 n-sphärischen

Funktionen bezeichnet, welche von irgend 2 jener Polynome begrenzt werden (f, = 1 angenommen), so ist

se DIDI aaa X Eee

mo

wo die Koeffizienten a durch die Gleichung

Bit fang Do ee ee ee en AD ö — HT.) (2)

definiert sind. Beweis. Differentiiert man die Gleichung (1) nach irgend einem Argument von

San+ı, Z. B. nach (12), so fällt rechts das letzte Glied (— 1)"a, weg, und man erhält DE (12) — PS (— 1)' N; & Fan-rı-ı (12),

eine ähnliche Gleichung, worin nur die Dimensionszahl 2n + 1 durch 2n — 1, und die Grenzpolynome durch 9 (12, 3), » (12,4), ....2 (12, n) ersetzt sind. Wäre nun der Satz für die (2n — 1)-Sphäre schon zugegeben, so könnte man durch Integration von dieser Gleichung auf (1) zurückschliessen, und brauchte nur noch nachzuweisen, dass die Integrationskonstante (— 1)" «a, richtig bestimmt ist. In der That, wenn wir annehmen, dass alle Argumente von f; „+ rechte seien, und edenken, dass die Summe I f,„_.,; so viele Glieder zählt, als 2» -+1 Elemente zu je 2n — 2: kombiniert werden können, so wird die Gleichung (1) |

1-2 (-Dials;,,)

ıi=o

oder, wenn man mit 1.2.3...(2n-+ 1) dividiert, y N sl el u Mu en (3) —1.2.3..12n—2) 1.2.3...(22 +1) 1.2.3...@n Hl)" N

Dieselbe Rekursionsgleichung (3) findet man aber auch, wenn man die Gleichung (2) mit

| 4 osz=1l— -;+ .

1.2.3.4 multipliziert, und in der Entwickelung die Koeffizienten von x°”*' auf beiden Seiten einander gleich setzt. Die Integrationskonstante wäre also richtig bestimmt, wenn der Satz für die Dimensionszahl 2n —- 1 wahr wäre. Da aber für die Trisphäre wirklich Js = 27, — 2 unda,=|1, a, =2 ist, so ist der Satz allgemein bewiesen.

Wir wollen die Gleichung (1) noch einer andern Probe unterwerfen, inden wir annelımen, ein Grenzpolynom von Sy... sei zu allen übrigen orthogonal; jenes mag

a4 zen, 9,

äquatorial, diese meridian heissen. Scheiden wir nun alle Funktionen f,, in zwei Gruppen, je nachdem das äquatoriale Polynom in der entsprechenden Kombination vor- kommt oder nicht, und verschen im ersten Falle den Funktionsbuchstaben mit dem Zeichen des senkrechten L, und bei der ungeschiedenen Summe das Symbol & mit demselben Beisatz, um anzuzeigen, dass das äquatoriale Polynom sich unter den Ele- menten befinde, über deren Kombinationen die Summe sich erstreckt, so haben wir

I Ssi Jen S Sam c= fan t fm er fem A: Zfomin Fe i wer= In s A wo auf der rechten Seite der letzten Gleichung die erste Summe (,, en die zweite an . 7 & (, j h Glieder zählt. Nach (1) ist EM —

ya m

j »—1 Seua-ı = > (— 1) di-ı RD RR

Az]

Will man nun dieses in der vorigen Gleichung substituieren, so frägt es sich, wie oft eine und dieselbe Kombination von 2m — 2A meridianen Polynomen, oder vielmehr die entsprechende fan -„, Im entwickelten Ausdruck für &f,,., sich wiederhole. Da 2m —24 meridiane Polynonıe schon gesetzt sind, so bleiben deren noch 2n — 2m -4+- 24 übrig, und daraus können 24 — 1 gewählt und mit jenen zu einer Kombination vereinigt

werden, welche einer gewissen Funktion /,„-, entspricht. Dies kann aber auf In-2m+2X al

Sam-., wiederholt. Demnach ist

) Arten geschehen, und eben so oft wird also jede einzelne Funktion

| z1=m

> a an 2m+2A up z Ta ze Sf: m ir > (—- 1) ( 2 IA ) 1 Z/am-s;:

» —I

Selzen wir nun, indem wir diese Formel im der Gleichung (1) substituieren, m =n—1 und 4 = I — i, so bekommen wir

ion s=-n—| kon | z

nen naher Sen

ıi—_ 0 kzırl

J]- ( n X 0-1 SI naie 2: +1 De

ır-0

Kehrt man in der Doppelsumme rechts die Ordnung der Summationen um, so durch-

läuft, wenn man k als konstant voraussetzt, ? die Werte 0,1,2,...4%— 1; und dann ist nach und nach "= 1,2,...n zu setzen. Man bekommt daher in i-k—|1 Nr k .) : ) 0 - > ( D hr — PB ee q, el NE Kl | io it +1

/ur identischen Giltigkeit dieser Gleichung wird erfordert, dass überhaupt

izen-

l ' nn „= > a Ad (dna—i-ı» . . . . . . . . . (4) sei. Dividiert man diese Gleichung durch 1.2.3...2n, so sieht man leicht, dass sie aus der Gleichung des Koeffizienten von 2°?" dx in der Entwicklung von dtang x = dx -+- tang?’x . dx hervorgeht.

Setzt man a, —= 2" c, so erhält die Rekursionsgleichung (4), indem man die Fälle von geradem und ungeradem n unterscheidet, die Formen

s=n—lI

tal Be EREH Gan = > 2) O;loan-i-v Can+ı 7 = } C; ER en mu S ) G In+2 2n-+l schliessen zu dürfen, dass alle ce ganze und positive Zahlen seien. Dieses ist nun wirklich in folgendem allgemeinen Satze enthalten. Wenn » eine Primzahl, n, :, k überhaupt ganze positive Zahlen sind, o<k<p,

Man braucht also nur zu zeigen, dass ( ) immer durch 2 teilbar sei, um daraus

so ist ) durch p» teilbar. Denn es ist

:n) np Br ()-P (a) (ap ip N) (np—ip—2)...(np—ip—k-+1) e » .(iPFDÜpt?2).. (ptR); da die linke Seite den Faktor p hat, und rechts die % letzten Faktoren durch p nicht np ip Hk

Man findt ,=1., =1,0%,=-46=2.117, e,=16.31, &, = 16.691, 6, = 64.43.1276 = 116.257 8617,42

Sind die Bernoullischen Zahlen B, durch die Gleichung

teilbar sind, so muss der erste Faktor ( ) es sein.

ee In definiert, so folgt 2 Ü Som 21 + BENE on x = Hatzeze Ze ren b an tang x = cotg x — 2 cotg?x 2° 23 en he) Bi: ; also mtl re ai Datr

Endlich möge noch eine leichte Probe der Gleichung (1) erwähnt werden. Wird das von n — 1 linearen Kontinuen umschlossene reguläre Polyschem der n-fachen To-

talität auf die konzentrische Sphäre projiziert, so zerfällt ihr Umschluss in n 4-1 re-

; . i ; ” € ; In guläre Plagioscheme, und die Argumente eines solchen sind sämtlich gleich —. Wenn

3 10

In

also alle Grenzpolynome der Funktion f, miteinander Argumente 2 bilden, so ist f, — man

Setzt man diese Werte in die Gleichung (1), so erhält man

Yenti en ö Intl J!n—2i BE a) (; ) ei In -H2 In—a) In —2t +1

irre \

Multipliziert man diese Formel mit — — ———--— , so füllt sie zusammen mit derjenigen,

welche man durch die Gleichsetzung des Koeffizienten von x°"*? in der Entwicklung der Gleichung 1 — cos2 x = sn2 x tang «x erhält.

S 25. Zerlegung der sphärischen Playioscheme in Orthoscheme.

Sind die Grenzpolynome p9,, Pa, - - - P„ eines Plagioschems S so beschaffen, dass nur die an — 1 Argumente (12), (23), (84), 45),.-.((a® — Du) frei bleiben, alle G)

übrigen aber rechte sind, so nennen wir $ ein Orthoschem und betrachten sein Mass als Funktion der n — 1 freien Argumente, bei denen die obige Ordnung wesentlich ist, aber auch umgekehrt werden darf, ohne dass die Funktion sich ändert. Es soJl nun gezeigt werden, dass jedes n-sphärische Plagioschem in 1.2.3... (n — 1) Orthoscheme zerlegt werden kann, deren Argumente durch trigonometrische Relationen aus denen des Plagioschenis herzuleiten sind.

Wir wollen zuerst schen, wie die orthogonalen Variabeln gewählt werden müssen, damit die Grenzpolynome eines Orthoschenis in der einfachsten Gestalt erscheinen. Ich setze voraus, man habe die in $ 20 gegebene Darstellung (5) der Grenzpolynome vor Augen, wo das erste nur eine Variable und jedes folgende immer eine neue Variable

mehr als das vorhergehende enthält. Weilnun 13)=(1N)=--=(1n)= s

muss x, in den Polynomen 9,, Ps - - - Pu fehlen. Da p, nur x, und x, enthält, so folgt

sein soll, so

ferner aus (24) = (25) =: = (2n)= z ‚ dass in den Polynomen p,, Ps, - . - pP. die Variable x, fehlen muss. Also ist nicht nur 19 = (l4)=---=(1n) = 5 ,‚ sondern

auch en 2)=(1, 25)= = (1,20) — — , Wird diese Schlussweise fortgesetzt, so sieht man, dass das Polynom p„ nur die Variabeln r„-, und x,„ enthält, und dass

nr

(123...n, (m-+1) (mn--3)) — (123...m, (m+ 1) (m-- 4) ) abe as (1 23...m, (in -- 1) n) =5

ist; die Grenzpolynome erhalten folgende Form:

AU

pP: = — a, cos (12) + 2, sın (12),

Ps —- — 17, 0608 (1, 23) -+ .w, sin (1,2 3),

De — X, C08 Kan 34) -I- x, sin (12, 34),

Pe Er oe 4) rs x, sin a2 2,3: Ze (n—1)n). Werden die allgemeinen Formeln (1) bis (4) des $ 20 auf die Grenzpolynome

und Argumente des Perischems $ (m) angewandt, so erhält man

» (m, m 1) = Pat pm eos (m -Ym) , (nm 1) = Purctpm cos (m (m +1) ) sin (/m — 1) m) sin (m (m-+ 1)) und für jedes von m — 1, m, m ---1 verschiedene i, » (m, i) = p;,

cos ((m +1) (m 1-2) ) sin ‚sin (m ( (m -+ -1))

cos ((m —2)( mM — 1)

sin (mm) cos (m, (m—1) (m+1)) -- cotg ((m—1)m) cotg (m (m + 1) ),

sonst (m, (--1)) = (i (2 -+ 1)) für i=1,2,3,...m —3; m +2, m + 3,...n —1; ausser diesen n — 2 Argumenten von S$ (m) sind alle übrigen rechte; also ist S(m,123...(m — Dm+2)(m-+3)...n) ein (n— 1)-sphärisches Orthoschem. Der Beweis gilt für alle (n — 1)-sphärischeu Perischeme und kann an jedem von diesen in Beziehung auf seine (a— 2)-sphärischen Perischeme wiederholt werden, und so fort. Folglich sind alle Perischeme von jeder beliebigen Ordnung Orthoscheme, und bei jedem die Ziffern seiner Grenzpolynome in derselben Ordnung zu nehmen, wie sie im Ausdruck des ursprünglichen Orthoschems auf einander folgen.

Denken wir uns nun das soeben betrachtete Orthoschem S (123...n) auf eine (n -+- 1)-sphäre gesetzt, und x, als neue Variable, so dürfen wir immerhin x, = 0 als Gleichung des Kontinuums, in dem jenes Orthoschem sich befindet, annehmen und alle vorigen Ausdrücke für die Grenzpolynome p,,Pg, - - - P„ beibehalten. Dann seien x,, %y ...%, die Werte der Variabeln, welche die Gleichungen p, = 0, 9% = 0,...P 0, 2? 4-22 +... 4-2 = 1 genügen, oder die Werte des Ecks (0234... n). Durch dieses Eck und Bor die Normale (x, =&,=:-:--x2.—=0) oder den Pol jenes Orthoschens gehe ein lineares zweifaches Kontinuum N Ne ae), Welches das (n 4 1)-sphärische Kontinuum in emem Kreisbogen schneidet, der jenes Eck mit dem Pol verbindet. Oder kurz gesagt: man ziehe durch jenes Eck einen zum Orthoschem normalen Kreisbogen. Auf diesem nehme man eine beliebige Lösung A, so sind deren Werte

cos (m, (m — 2) (m — 1))= = , cos (m, (n--1) (n+-2)) =

z,=sinh, x =xz,cosh, 2, = a,cosh,...x, = «x, cos h,

wo / ihre Höhe über dem »-sphärischen Orthoschem bezeichnet. Es ist zum voraus klar, dass alle durch diesen normalen Kreisbogen gelegten »-sphärischen Kontinuen zum Orthoschem S(0) orthogonal sind, mit andern Worten, dass in ihren Gleichungen die Variable x, fehlt. Durch jedes (n —1)-sphärische Perischem des letzten und durch jene Lösung A ist ein n-sphärisches Kontinuum bestimmt; man versehe die Polynome jener mit Accenten und schreibe diejenigen dieser gleich, aber ohne Accent; dem Orthoschem selbst entspreche das Polynom p,. Man hat dann im ganzen n-H-1 ein Orthoschem umschliessende »-sphärische Kontinua, wie man sogleich an den Ausdrücken ihrer Po- Iynome sieht: de, cos I) + sin h. ie ;

’ ' Po = Ic Pı = u ee a Eee ) sin? + x? cos h u

Es ist übrigens vermöge der Formel (6) in $ 20: = = sin (345...n, 12); daher

— 1, sin (3 kon, 3) cos h +. sin h

ia sin? (3 kon, 1 2)sin?7

17

Wie wir jetzt gesehen haben, kann man jedes n-sphärische Orthoschem zur Kon- struktion eines (n-}-1)-sphärischen gebrauchen, indem man jenes auf eine (n-| -1)-Sphäre versetzt, auf dasselbe durch sein erstes Eck einen normalen Kreisbogen A zieht, diesen beliebig begrenzt und durclı dessen Endlösung (Spitze) und jedes der n-Perischeme des gegebenen Orthoschems (Basis) ein n-sphärisches Kontinuum legt. Das erste derselben wird dann zur Basıs schief, alle folgenden aber orthogonal sein; d.h. man hat ein (n —+- 1)-sphärisches Orthoschem konstruiert, wovon das gegebene n-sphärische (die Basis) das erste Perischem ist, und die n übrigen dieselbe Ordnung befolgen wie die (n—1)- sphärischen Perischeme der Basis, durch welche sie gelegt sind.

Nach dieser Vorbereitung Ist es nun leicht, irgend ein n-sphärisches Plagioschem von einer beliebig gegebenen Lösung A aus ın 1.2.3...n Orthoscheme zu zerlegen. Es mag beiläufig bemerkt werden, dass die Zerlegung eine wahre Summe geben wird, wenn alle ursprünglichen Argumente spitz sind, und die Lösung A innerhalb des Plagioschems liegt. Weil dieser Fall die geringste Schwierigkeit für die Vorstellung hat, werde ich mich im folgenden immer so ausdrücken, als ob ich nur diesen Fall vor Augen hätte; wir haben dann den Vorteil, dass alle in Betracht kommenden Winkel

REN : nn. i re : positiv und kleiner als — sind. Im allgemeimen aber kann die Zerlegung auch negative

Orthoscheme enthalten. Ich zeige zuerst die Möglichkeit der Zerlegung, und dann gebe ich die trigonometrischen Relationen, durch welche die Argumente der Orthoscheme in Funktion derjenigen des gegebenen Plagtoscheins und der sphärischen Abstände seiner Perischeme von der Lösung .L bestimmt sind.

in m ee

Es seien zuerst ein trisphärisches Plagioschem (Kugeldreieck), begrenzt von den disphärischen Perisehemen (Kreisbogen) S (1), 5 (2), 5 (3), denen die Polynome p,, Pa, P, entsprechen, und die Lösung A gegeben. Man ziehe von A aus auf © (1) einen normalen Kreisbogen, A (1) sei sein Fusspunkt. Dieser teilt S (1) in zwei Stücke, von denen das eine nach dem monosphärischen Perischem 5 (12) geht, welches wir auch als Fusspunkt betrachten und durch A (12) bezeichnen können. Dieses von A (1) bis 4 (12) reichende Stück können wir als disphärisches Orthoschem betrachten, obgleich auf der Disphäre die Unterscheidung zwischen Plagioschemen und Orthoschemen eigent- lich dahin fällt; und da A A (1) zu demselben normal ist und durch sein erstes Eck A (1) geht, so bekommen wir ein trisphärisches Orthoschem, welches A zur Spitze und

das genannte disphärische Orthoschem, welches einen Teil von S (1) ausmacht, zur Basis hat. Von seinen disphärischen Perischemen ist das erste der genannte Teil von

S (1), das zweite geht durch A und $ (12), das dritte durch A und A (1). Diese Ordnung entspricht der Permutation 123. Da es im ganzen 1.2.3 solche Permu- tationen giebt, und jeder ein trisphärisches Orthoschem entspricht, so ist die Zerlegung des trisphärischen Plagioschems in 1.2.3 Orthoscheme bewiesen. Obgleich es auf der Stelle klar ist, dass ein Kugeldreieck mit lauter spitzen Winkeln von einem inner- halb desselben befindlichen Punkte aus in sechs rechtwinklige Kugeldreiecke zerlegt werden kann, so habe ich doch absichtlich die Sache mit dieser scheinbar unnötigen Ausführlichkeit behandelt, um am leichtesten Beispiel den Gang der nun folgenden allgemeinen Konstruktion zum voraus anzudeuten und dadurch etwas klarer zu machen.

Nehmen wir an, es sei bereits gezeigt, dass ein (n — 1)-sphärisches Plagioschem von einer innern Lösung aus n 1.2.3...(n — 1) Orthoscheme zerlegt werden kann, welche den Permutationen seiner Grenzpolynome entsprechen, und versuchen nun das Gleiche für ein n-sphärisches Plagioschem zu bewerkstelligen, dessen Grenzpolynome mit den Ziffern 1,2,3...n bezeichnet sein mögen. Von der gegebenen innern Lösung A aus werde auf das (n — 1)-sphärische Perischem $ (1) ein normaler Kreisbogen ge- zogen, und von seinem Fusspunkte A (1) aus dieses Perischem in 1.2.3...m — 1) Orthoscheme zerlegt; eines von diesen entspreche der Permutation 234...n. DaA(l) sein erstes Eck ist, und durch dieses der Kreisbogen A A (1) normal zum genannten (x — 1)-sphärischen Orthoschem gezogen ist, so ist nach dem früher Gezeigten das letzte Basis und A Spitze eines n-sphärischen Orthoschems, welches der Permutation 123...n entspricht. Wird von A (1) auf S (12) ein normaler Kreisbogen mit dem Fusspunkt

4 (12), von diesem aus auf $ (123) ein normaler Kreisbogen mit dem Fusspunkt 4 (123), u.s. f. gezogen, so ist das erste Perischem dieses n-sphärischen Orthoschems jenes ortho-

schematische Stück von S (1), das zweite geht durch 8 (12) und A, das dritte durch S (123), A und A (1), das vierte durch $ (1234), A, A (1) und A (12), und so fort,

zu TR

das letzte endlich durch 4, A (1), AA2), A123)... 41234... m — 2). Es ist klar, dass z.B. der Fusspunkt A (123...m) sich nicht ändert, wie man auch die Ziffern 1,2, 3,... m permutiert. Denn, um denselben zu bestimmen, kann man auch durch das Centrum auf das (n — m)fache lineare Kontinuum (123...) das normale mfache lineare Kontinuum legen; dieses wird mit dem nach A gehenden Radius ein (n+-1)- sphärisches Kontinuum bestimmen, welches das (n — m)-sphärische Perischem 5 (1 23...) im verlangten Fusspunkt A (123...m) trifft. Wird diese Konstruktion in Beziehung auf alle (na — 1)-sphärischen Orthoscheme, in welche S (1) zerfällt, wiederholt, so setzen sich die erhaltenen »-sphärischen Orthoscheme, welche den sämtlichen mit 1 anfangenden Permutationen der Ziffern 1, 2,3... n entsprechen, zu einem Plagioschem zusammen,

welches A zur Spitze und das ganze Perischem S (1) zur Basis hat. Nimmt man nun

nach und nach S (2), 5 (3),...S (n) als Basen, so setzen endlich alle entsprechenden Plagioscheme um die gemeinschaftliche Spitze A herum sich zum ganzen ursprünglichen Plagioschem zusammen. Da nun die Möglichkeit der Zerlegung in Orthoscheme für das trisphärische Plagioschem bewiesen ıst, so ist es nach dem vorigen auch für das tetra- sphärische, und so fort; sie ist also allgemein bewiesen.

Fällt die Lösung A nicht in die Begrenzung des gegebenen n-sphärischen Plagio- schems, so ist aus dem Gesagten klar, dass 1.2.3...n die Zahl der Orthoscheme sein wird, aus denen es bestelt. Fällt sie aber mit einem Eck, z.B. (2 a .n), zUu- sammen, so ist dieses die gemeinschaftliche Spitze von 1.2.3... (n — 1) Orthoschemen,

deren Basen das gegenüberliegende Perischem 5 (1) zusammensetzen, und mit diesen ist die Zerlegung vollendet. Wenn man also eine Zerlegung des Plagioschems in die kleinstmögliche Zahl von Orthoschemen verlangt, so muss sie von einem Eck aus ge- macht werden.

Wenn wir nun zweitens die trigonometrischen Relationen anzugeben haben, durch welche die Argumente eines durch die Zerlegung entstandenen Orthoschems, z. B. des- jenigen, welches der Permutation 123...n entspricht, in Funktion der Argumente des gegebenen Plagioschems bestimmt sind, so liegt es uns daran, den Gebrauch der ortho- gonalen Werte der Lösung 4, von der aus die Zerlegung geschehen soll, zu vermeiden, um nicht durch die Willkürlichkeit des orthogonalen Systems belästigt zu sein, sondern nur die wesentliche Zahl von Daten der Aufgabe in ktechnung bringen zu können. Wir bestimmen daher die Lösung 4 durch die Werte der Grenzpolynome P,, Par =: Pr Dann ist z.B. der Wert von p, der Abstand der Lösung A von dem durch p, = 0 dargestellten linearen Kontinuum (1), oder, da 4 auf der n-Sphäre liegt, der Sinus des sphärischen Abstandes der Lösung A vom Perischem S (1). Man kann also auch sagen, die Lösung A sei durch die Längen der auf den Perischemen normalen Kreisbogen 44(1), AA(2),...44 (nr) bestimmt. Weil aber A auf der Sphäre liegen soll, so

Tr

.--

”-

_- 9 —_

muss zwischen den Werten von 9, , Ps, - - P„ eine Relation bestehen, welche der Glei- chung 2° —+ y?+ 2°? -+--- = 1 entspricht, wenn z,%,... die orthogonalen Variabeln bedeuten. Wir finden diese leicht auf folgendem Wege.

Es seien 9, = wc +-DbY->-..,„ m =% 2-4 b,y-+..., etc. die Polynome. Da der Ausdruck

|

| 7 Re | a) BEN

t

' l; b, . C, . dyı b, C,

llarl Desg Ay. Da. 6a

| lt, b, ‘ n | lt, b, Cz |

verschwinden muss, weil jede Hälfte dieses Schemas n — 1 Horizontalzeilen und nur n Vertikalzeilen hat, so bekommt man, indem man ihn in eine Determinante von Produkt-

summen verwandelt und x° -+ y? -!-... = 1 voraussetzt, L.% 2% Ps 54% Pn EA) = e AD ».- L.; — cos (12)... — cos (1) Ps. — cos (12). 1 ..—cos(2n) Pn» — cos (ln). — cos (2n)... 1 |

als Gleichung des n-sphärischen Kontinuuns.

Formeln zur Berechnung der Orthoscheme, in welche ein gegebenes n-sphärisches Plagioschem zerfällt.

Es seien a (1), a (2),...a (n) die Werte der Grenzpolynome » (1), P (2,--. P (n), welche für die Lösung A stattfinden, von der aus die Zerlegung geschehen soll, mit

andern Worten, die Sinusse ihrer sphärischen Abstände von den Perischemen; sıe müssen der Relation (1) genügen. Es sei ferner

2) —_ el) ecos (1m) +a (m) a 1. m) sin (l m) ;

a (i2,m) = +2) eos (12m) + (m) sin (1,2 m) a (123, m) = «(1 2,3) cos (13,3m) + a(12 m) (2)

sin (1 2,3: m)

I

«183 GDy,n = 2. Bd nt) (2. Bde) tr alit..nn) u sin (12... — 2). (n—Un)

— 80 —

dal a(,2) a (13,3) | -— — 0 — fang == tanz - 0 = tane ß., ..:.. da (1. 2) en) ß, ) alı2. 3) > Ba: a (123, 4) a) ß,» |

a (12 23. 3...(n - — 9. N — 1) alı 23. in, „)

= tang PB,

so sind cos ß,, sin ß, cos ß,, sin ß, cos ß,,..., sn ß,. cos fa - die Kosinusse der Argumente desjenigen Orthoschems, welches der Permutation 123... entspricht. An diesen Satz reihe ich noch folgende Behauptungen. Der Wert von a (123...i, m) ändert sich nicht, wie mau auch die überstrichenen Ziffern 1, 2,3%, ... Sätmükiert‘ Die Gesamtzahl dieser Grössen ist: demnach Ma ee een ee) Die Relation (1) verwandelt sich in a (1)? -4- a (1,2)? + a (123,3)? -+a (123, 4)? + ---all2..n—1),n?=1.. (6) Wird im nn (2) der Buchstabe a durch p ersetzt, d. h., denkt man sich die

.i,m) das Polynom

des durch $ (123...i = und an zus(1)....8(2)...8 (i) gelegten Kontinuums. . . u A an. ir Yez, aan a nd an > Nr ae el er IL) Für den Eisspinkt A a 2 y .i) gelten die Gleichungen:

P» = rR =0)...9=%,

en ee “) N yl23...i, I SEE __allr u: m)_ — —-— 1-0, (3) lı-a 12? -all. 28 ul. Sm Bea Kenne) (nmi--l,i-- 23, 7 -H-8,...n) wo der Radıkand im Nenner durch eine Permutation der Ziffern 1,2.3,... 2 micht

geändert wird. Beweis. Das durch (lm) und die Lösung A gelegte lineare Kontinuum hat die Gleichung

aM) - ah )yM)=-0. ... 2.2.2.0 Die Summe der Quadrate der Koeffizienten der Variabeln auf der linken Seite ist (1)? -+ 2a (1) a (m) cos (Im) + a (m)? = (a (1) cos (1 m) -1- a (m) )? 4: all)? sin? (Im), also nach (2) gleich

(u (1)? -+-a (1, m)' ) sn® (1).

=. NOT, zei

Das Polynom des betrachteten Kontinuums ist demnach

“«mpypm—zam)pi), sin (m) Ya (1)? + a (1,m)?®

Wenn nun das Orthoschem, dessen Argumente wir suchen, der Permutation 123...n entspricht, so ist p (1) = 4, sein erstes Grenzpolynom, und

a SEID EIDPNN). u 5 we eh (MO)

sin (12) Ya (1? +a (1,2)?

sein zweites. Ist ß, der Winkel der Polynome g,, 9, so hat man

AR EI | a ae ie 6. sin (12) Ya (1? + a (1,2) Yacı)?+a(1,2)’

woraus sogleich

(1 tang f, = = 5

folgt. Multiplizieren wir die Gleichung (9) mit einem beliebigen der Ziffer m entsprechen- den Faktor A, und summieren dann für n = 2,3, ...n, so stellt die erhaltene Gleichung

ein durch 4 gehendes Kontinuum dar. Soll dieses noch zu (1) orthogonal sein, so muss Zr, (a (l)cos(Im)+a(m)) = 0

sein. Demnach ist für den von A aus normal auf das Grenzkontinuum (1) gezogenen Kreisbogen

a(i) yÜ (m) — a (m) pP (1) = COnsb.;. 4 ee (12)

all)cos(Im)-+ a (m) während m = 2, 3,...n wird. Durch die hieraus entspringenden n — 2 Gleichungen ist das normale disphärische Kontinuum gerade bestimmt. Für den Fusspunkt kommt noch die Bedingung » (1) = 0 hinzu. Mit Rücksicht auf (2) haben wir also für den Fusspunkt A (1):

pP (m)

-- _ %— = const. (m = 2,3,...nN). ee const. (m n)

Nach der in (7) vorausgesetzten Erweiterung des Systems (2) ist aber 7...) _ PDeos(lm)+p (m) P (1, m) = sin (l m) Wie wir weiter unten noch erläutern werden, und wie schon durch die Bezeichnung an-

gedeutet werden soll, hat dieses Polynom für das (n — 1)-sphärische Perischem $ (1) 11

zu BD

dieselbe Bedeutung, wie p (m) für das ursprüngliche x-sphärische Plagioschem. — Im vorliegenden Falle haben wir also, wegen p (1) = 0, für den Fusspunkt 4 (1)

all, 2) all, 3) at, we

Wir erfahren hieraus nur die Verhältnisse der Werte der Polynome p (1, ın). Um ihre wirklichen Werte zu bekommen, schreiben wir in der Gleichung (1) überall a statt p, was erlaubt sein muss, weil die Lösung A auf der Polysphäre liegt. Die oberste Ho- rizontalzeile beziffern wir mit 0, die folgenden mit 1,2,...n. Multiplizieren wir nun die Horizontalzeile [1] mit cos (1 m) und addieren die Produkte zur Horizontalzeile [|], während |1] unverändert bleibt, so ändert sich der Wert der DeiSrminanE bekanntlich nicht, und die zwei ersten Glieder der Zeile [x] werden:

LA 1a) BaEeS "2 CIE) EEE ‚1 C 7

a(m)-+-a(1)cos(1m) = «a (1, m) sin (1 m), 0 Das Glied vom Range m wird sin? (1 m), und dasjenige vom Range i wird — cos (im) — cos (Li) cos (1m) = — sin (1 i) sin (Lam) cos (1, im); diese Horizontalzeile ist also durch sin (1 n) teilbar. Da rechts die Null steht, so kann man diesen Faktor der Determinante weglassen. Man führe dieses durch für m == 2, 3,...2. Von der Zeile [0] subtrahiere man die mit a (1) multiplizierte Zeile [1], werden ihre Glieder 1—a(1),0, a (1,2) sin (1 2), a (1,3) sin (13),... a (1,n) sin (In).

Bezeichnen 4, H,,... H, die ursprünglichen Horizontalzeilen, so können wir die neuen durch

H,—a(l) H,H,... (H„-+ H, cos (lm)): sin(Im),...

ausdrücken. Man wird nun bemerken, dass die Vertikalzeile [1] nur im Range [1] das Glied 1, sonst lauter Nullen hat; folglich kann man auch in der Horizontalzeile |1] alle Glieder ausser dem erwähnten durch Nullen ersetzen. Jetzt ist aber die Vertikalzeile [ö] durch sin (1 ö) teilbar geworden. Man lasse diesen Faktor für i =- 2,3,...n weg, so hat man endlich die Gleichung

1-al. all). al)... al) . . (1) a (1, 2) j 1 . — 05 (1,23) ET a (1,3) -— cos (1,32)- l cos (1,31)

a (1; n) one cos (1,2) - => cos (L, 13): Be l

— 89 —

Da diese Gleichung für das (n — 1)-sphärische Kontinnum (1) gerade dieselbe Bedeutung hat, wie die Gleichung (2) für das n-sphärische, so folgt, dass für A (1) die Grenz-

polynome von (1) folgende Werte bekommen:

p(L, m) = --" m Mer draeeiee e lD) Yl-all)

Was am gegebenen n-sphärischen Plagioschem in Beziehung auf sein Grenz- kontinuum (1) und die Lösung A gethan worden ist, soll nun am (n — 1)-sphärischen Plagioschem (1) in Beziehung auf seine Basis (12) und die Lösung A (1) wiederholt werden.

Man hätte also eigentlich die Variabeln orthogonal so zu transformieren, dass das Polynom p (1) einer einzigen Variabeln gleich würde, und dann ın jedem der übrigen Polynome diese Variable wegzulassen und seine zurückbleibenden Koeffizienten pro- portional so zu verändern, dass wiederum die Summe ihrer Quadrate = 1 wird. Nun ist z. B. im Polynom » (m) der Koeffizient der zu unterdrückenden Variabeln — cos (1m); die zurückbleibenden Koeffizienten sind also mit sin (1x) zu dividieren; das entsprechende

Grenzpolynom von (1) wird demnach

1 (m) -FP(l) cos (lm »(1,m)= ? Mn) pl) cos (Im) sn(1 m) und man braucht sich in die Transformation der Variabeln nicht einzulassen. — Mit

andern Worten: Durch die Unterdrückung der mit p (1) koincidierenden Variabeln geht das Kontinuum (m) in ein durch (Im) gelegtes und zu (1) orthogonales über. Die erste Bedingung wird durch die Form p (m) -+ A p (1) erfüllt, und der Faktor A ist durch die zweite Bedingung, p (m) +Ap (1) Lp (1) oder cos (lm) — A= 0 bestimmt. Da nun die Summe der Quadrate der Koeffizienten des Polynoms p (m) +4 p (1) gleich ist 1-42 — 2% cos (lm) = sin? (lm), so haben wir auch so wieder die obige Formel für p (1, m) bewiesen. Sie ist übrigens als spezieller Fall in den allgemeinen Formeln (1) und (2) des $ 20 enthalten.

Für das folgende brauchen wir einen Ausdruck für den Winkel der Polynome

p (i) und p (1, w). Wir finden seinen Kosinus cos (Ü m); + cos (1 7) cos (1 m)

_ alim) Een DL — sin (1 ö) cos (1,m) ....(16)

und im Besonderen für = m, = — sin (1m).

Nun haben wir ähnlich wie in (10) für das dritte Grenzpolynom des betrachteten Orthoschems den Ausdruck

= Me

KANFARDE TIEFE) WR sin (1,23) Yalı.2)’+a(12,9°

3

Der Zähler ist eine homogene lineare Funktion von y (1), p 2), p &), also geht das Kontinuum durch (123); der Zähler verschwindet für A und wegen (15) auch für A (1), das Kontinuum geht also durch beide Lösungen.

Wir haben also die negative Summe der Produkte der gleichnamigen Koeffizienten der Polynome p (2) und «a (1,2) » (1,3) — a (1,3)p (1,2) zu berechnen; nach (16) ist sie

sin (12) « (1,2) cos (1,23) -- a (1,3) — «a (12,3) sin (12) sin (1,23);

ferner ist y (1) L« (1,2) p (1,3) —a(l3)p (1,2), und endlich mit Rücksicht auf den in (10) gegebenen Wert von 4:

nn | BEHEUR. ..., SENENESS (2.3) : = sin B, cos ß,,

Be ee N: Yaı,?+a (12)? Yalı,2)?-Fatı2,5)?

wenn man die Abkürzungen (3) gebraucht. Bezeichnen wir mit p (12, m) das Polynom eines durch (12) und orthogonal zu

(1) und (2) gelegten Kontinuuns, so finden wir durch die oben gebrauchten Schlüsse

p (12,m) = pll,m) + p (1,2) cos (12m), Vergl. (7) sin (1,2m)

Es erhellt schon aus der Definition, dass dieser Ausdruck durch Vertauschung der Zeiger

1, 2 nicht geändert wird; man kann dies aber auch direkt verifizieren; denn man

findet leicht

p m) sin (12, -F p (1) sin f2 m) cos (2. Im) + p 2, sin (1 m) cos (1,2) ID es BULL N UN)

sin (12). sin (1 m) sin (1,2 m)

p (12, m) —

wo hinsichtlich des Nenners zu bemerken ist, dass sin (1 m) sin (1,2 m) = sin (2 m) sin (2,10). Wenn aber p (12,n) = p (21,m), so folgt von selbst, dass auch «a (12,1) -- a (21, m). Hieraus kann leicht die Richtigkeit der Behauptung (5) gefolgert werden.

\Wie aus der Gleichung (1) die Gleichung (14) sich ergab, so kann aus dieser wiederum die Gleichung

1,2)? - a(12,3) -... all2,n)

-=0 .. (19 9.3): 1 00. — (08 (12, 3)

1-ıuı()—aua( 1

a (

al12,n)-— cos (12,23) -.......1 |

Kr -- -

-R-

hergeleitet werden, und es folgt, dass der Ausdruck « (1)? + a (1,2)? sich nicht ändert, wenn man auch die Ziffern 1 und 2 vertauscht. Setzt man dies weiter fort, so erhält man durch wiederholte Anwendung derselben Schlüsse, durch welche (13) und (15) ge- funden wurden, für den Fusspunkt 4 (123...:) die Gleichungen (8). Da zuletzt das Polynom p (123...(n— 1), n) nur noch eine Variable enthält, und diese der Gleichung*) der Monosphäre, so ist sein Wert + 1; daraus folgt die Gleichung (6). Das Gleiche folgt auch aus der fortgesetzten Reduktion der Gleichung (18). Es ist leicht, die Gleichung (17) zu verallgemeinern; man hat

a2. mim t)plin. mo a.m)—allı.. mo, pl... mom),

Im == FOLIEN man - 5 sin (12... (m—2, (m —1) m) Yalız.. .(m—2), ‚n—1) +a(ll2 my)?

Aus dieser allgemeinen Formel für ein Grenzpolynom des Orthoschenis folgt dann

a\12 (m, m—1) a 12.. “Mm, m-+1 cos Z (YmInzı ) nn (12... m- u ERGERHETe {12...m 5 ) ee = Yalız... (m—2), ae +a(12.. .(m—1) ‚n)® Aus. m U,m)?-F al tal2.. m, na)“

— sin Bu 608 P.. Vergl. (4).

Wenn die Bedingung für die Quadratsumme der Koeffizienten nicht erfüllt zu sein braucht, so kann man das mte Grenzkontinuum des Orthoschems auch durch die Gleichung

1-— cos (12)- — cos (13) - ++ — cos (1 (m—23))-a (1) -p() | = —c08(21)- 1° — cos (23). * ++ — cos (2 (m—2)) a (2) -p (2) — cos(31) - — cos (32) - l- +++. — cos (3 (m—2))-a B) -p ®) |

— cos (ml). — cos (m2) - — cos (m) - - - + — cos (m (m—2)) - a (m) -p (m) darstellen. Es erhellt aus dieser Form der Gleichung sogleich, dass das Kontinuum durch (123... m) und A geht und zu allen durch (12... (n-—2)) gelegten Kontinuen

orthogonal ist, und dass eine Permutation der Zeiger 1,2,3,...m — 2 keinen Ein- fluss hat.

$ 26. Reduktion der perissosphärischen Orthoscheme auf artiosphärische,

Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe dieses Paragraphen schon mit derjenigen des $ 24, welche sich auf Plagioscheme überhaupt bezog, zugleich gelöst zu sein, indem man nichts weiter zu thun brauche, als die dortige Gleichung (1) dem besondern Fall eines Ortho- schems anzupassen. Dieses Geschäft kann für niedrige Dimensionszahlen allerdings

*) So im Manuscript.!

— 8 —

ausgeführt werden. Da aber der in $ 23 betrachtete Fall, wo eine plagioschematische Funktion in ein Produkt zweier anderer zerfällt, sehr oft mit perissosphärischen Faktoren eintritt, und diese dann wiederum durch lineare Polynome artiosphärischer Funktionen dargestellt werden müssen, so mag cs schwer halten, auf diesem Wege zu einem all- gemeinen Gesetz zu gelangen. Hingegen wird die Lösung der speziellen Aufgabe dieses Paragraphen ganz leicht, wenn man sie unmittelbar angreift, ohne von der Gleichung (1) in $ 24 auszugehen.

Zur Vorbereitung auf das folgende diene diese auf $ 23 gestützte Bemerkung. Bedeutet f (123 4...n) eine orthoschematische Funktion, wo die Ziffern den Grenz- polynomen entsprechen, und die Ordnung derselben die bekannte Bedeutung hat, also bloss umgekehrt, aber sonst nicht durch Permutation verändert werden darf, und man lässt einige Polynome weg, sodass die Folge der übrigen durch Lücken unterbrochen wird, so sind alle zwischen zwei Lücken oder zwischen einer Lücke und dem Anfang oder Ende der ursprünglichen Reihe enthaltenen Polynome zu jedem der übrigen ortho- gonal; daher findet die in $ 23 gelehrte Zerfällung einer Funktion in Faktoren ihre Anwendung auf jede niedrigere orthoschematische Funktion, welche einer durch Lücken unterbrochenen Kombination der gegebenen Polynome entspricht. Ist zB m—ı>1, m <n, so Ist |

sı123...im a --D...n)=f(123...dfam (m --N)...n).

Im folgenden Satze können nur artiosphärische Faktoren vorkommen.

Satz. Wenn f.,.4|ı die einem perissosphärischen Orthoschem ent- sprechende Funktion bezeichnet, und man lässt in der Reihe seiner 2n \ 1 Grenzpolynome deren 2:-: Lauf alle möglichen Arten so weg, dass jede der ununterbrochenen Reihen, in welche die ursprüngliche Reihe durch die entstandenen Lücken getrennt wird, eine gerade Anzahl von Polynomen enthält; bezeichnet man ferner die Summe aller Funktionen, welche den erwähnten Kombinationen der Grenzpolynome entsprechen, mit Z fan -.2» WO die einzelnen Glieder teils einzelne Funktionen, teils Produkte von solchen sind, je nachdem in der betreffenden Kombination alle Polynome eine fort-

laufende oder dureh Lücken unterbrochene Reihe bilden, — so ist > x — 1‘ I, x I Pan ee ein ee eh (1)

= SAT: en

SU29)=- SEI) SUN) —1, Su2345)=f(@345) + SAY) FA) -HfA23) -AHAFEH+FA@NISAYH SA23456N=FA3455EN+FALDFA5EEN 4 FA23NFET)-Hf23456) - SA5EENALSEHFECN :FBHENA+HFCHICNA+FEHFCH 3 S@IIHASANFEH1FADFCH+FUADFAINA-FA23N]| +2 SENHFECH LAN AHFEHAFAHAISAD) 5.

Beweis. Es frägt sich zuerst, wie oft man aus der Reihe 1,2,3,4,...22 +1) je zwei 2:—+1 Ziffern weglassen kann, sodass jede der zurückbleibenden fortlaufenden Reihen eine gerade Anzahl von Ziffern enthält. Man ordne die zurückgebliebenen Ziffern paar- weise, so hat man n —ı Paare, und denke sich jedes Paar durch ein einziges Symbol ersetzt. Zählt man die weggelassenen Ziffern einzeln ebenfalls als Symbole, so sind deren im ganzen n-+i--1, und man hat eine gewöhnliche Kombination (2? —+-1)ter

Klasse aus n-+ © —+-1 Elementen. Die Summe Ff,,-.; zählt also Fe u ) Glieder. Sind nun alle 20» +1 Polynome unter sich orthogonal, so hat jede Funktion f den Wert 1; und, wenn die Gleichung (1) richtig ist, so muss

EN ru sein. Bedeutet Ah, die Summe rechts, so ist nah EEE) ren) l)

u n z (2) Ge —z Pr (1.1) a

Also ist „= h,-, = Iln-2 =." =, = Ih; und, da l,=1 ist, so ist die Gleichung (?) allgemein gültig. Daraus ist zu schliessen, dass, wenn die Form der Gleichung (1) die richtige ist, die Koeffizienten ebenfalls richtig gesetzt sind.

Um die Form zu prüfen, differentiieren wir die Gleichung (1) nach irgend einem Argument der Funktion ‚f,,;, und erhalten offenbar eine Gleichung von derselben Form, mit dem einzigen Unterschiede, dass die zwei das varlierte Argument einschliessenden Polynome herausgefallen, und durch die Unterdrückung des zu beiden normalen zwei- fachen Kontinuums die zwei benachbarten Polynome verändert sind. Wenn also der zu beweisende Satz für die (2n — 1)-Sphäre bereits zugegeben ist, so kann man durch

blosse Integration auf die ltichtigkeit der Gleichung (1) schliessen, indem man zugleich die Integrationskonstante nach (2) bestimmt. Da nun der Satz (1) für die Trisphäre richtig ist, so ist hiermit seine allgemeine Geltung bewiesen.

$ 27. Perioden artiosphärtischer Orthoscheme.

Wenn ein Plagioschem S (123...n) verschwindet, so sind seine Grenzpolynome nicht alle unter sich unabhängig; die Determinante ihrer Koeffizienten wird also ver- schwinden, oder, wenn man will, das Quadrat derselben, die Determinante der negativen Kosinus der Argumente, welche wir in $ 20 mit 4 (123...n) bezeichnet haben. Nach demselben Paragraphen ist z. B.

N ee I1234...n) IBAH.. N sin? 345...n,12) = 7... Is

Wenn also keine der Determinanten (n — 1)-ten Grades verschwindet, so müssen beim Verschwinden des Plagioschems 5 (123...n) auch die Sinusse aller seiner Seiten ver- schwinden; aber diese selbst können dann immer noch O0 oder zz sein. Man darf aber im allgemeinen nicht umgekehrt von 1 (123...n)= 0 aus auf das Verschwinden des Plagioschems schliessen. Wenn man jedoch sicher weiss, dass alle Seiten verschwinden, so überzeugt uns schon die unmittelbare, ich möchte sagen, geometrische Anschauung, dass das Plagioschem verschwindet. Setzen wir jetzt den Fall, dass alle Argumente von $ (123...) im ersten Quadranten liegen, so folgt aus

cos (23) + cos(12,cos/13,

; SE ’ etc., sin (12) sin (13)

cos (1,23) =

dass das nämliche auch für alle Argumente der (a — 1)-sphärischen Perischeme gilt, denn cos (1,23) Kann in diesem Falle nur positiv sein; daraus folgt aber weiter, dass auch alle (n — 2)-sphärischen Argumente spitz sind, und so fort, zuletzt, dass die Seiten alle im ersten Quadranten liegen. Ist nun auch noch 4 (12?3...n)=0, während keine der ähnlichen Determinanten (n — 1)-ten Grades verschwindet, so kann hieraus nur auf das Verschwinden sämtlicher Seiten, also auch des Plagioschens selbst, geschlossen werden. Erwägt man die Sache noch genauer, so findet man, dass auch keine Deter- minante (n — 1)-ten Grades verschwinden kann. Denn, wäre z.B. 1 (234...)=(, während keine Determinante (n — 2)-ten Grades verschwindet, so müssten nach der Formel

412349...) Ad...n) 4345...n) ID...)

sin? (45...n,23) =

alle aus den Ziffern 2,3,4,...n gebildeten trisphärischen Stücke, wie (45...n,23) ver- schwinden, und, da alsdann z. B. in der Gleichung ö

en ln nn rn ei

En

89 —

cos (A5...n, N, 12) +cos(45...n, .n, 13) cos (#5...n, N, 23)

345...n,12) = cos ( n,12) sin (#5...n, 13) sin (45...n, 23)

rechts der Nenner des Bruchs verschwände, so müsste auch der Zähler verschwinden, was nicht sein kann, da derselbe die Summe zweier positiver Grössen ist. Der gleiche Schluss ist auf die Annahme anwendbar, dass eine Determinante (n — 2)-ten Grades, aber keine (n — 3)-ten Grades verschwinde, und so fort. Eine Determinante zweiten Grades endlich, wie 4 (12) kann nicht verschwinden, weil sonst ein ursprüngliches Argument (12) gleich Null sein müsste. Demnach ist folgender Schluss rückwärts sicher:

Wenn alle Argumente des Plagioschems $ (123...n) positiv und spitz sind, und es verschwindet. die Determinante 4 (123...n) der negativen Ko- sinus der Argumente, so muss auch das Plagioschem verschwinden.

Für ein Orthoschem S (123...n) ist

4(123...n)= 1 -— cos(12)- 0 . 0 ae DO 0 —cos@1)- 1 -—-cs@d):- 0 -..00 0 0 -—c08(32)- 1 -—cos(34)-... 0 0 0 . 0 0 . 0 1 .— cos((n— 1)n) 0. :>.0.2.00..220 0 —eosen(n—))- 1

= 4(234...n)— c0s?’(12) 4 (34...n)= 4(123...(n--1)) — cos? ((n—1)n) 4(123...(n—2)). Gebrauchen wir einfache Zeichen für die Argumente, indem wir (12)=«, (23) = ß 84)=9,..,(m -—l)n)=© und 4(123...n)= 4A, (ae, ß,... ©) setzen, wo der untere Zeiger bei A den Grad der Determinante bedeutet, so haben wir zur successiven Be- rechnung derselben folgende Reihe von Gleichungen:

A4,=1,4, =1,4, («) = 4, — A, 08? a = sin? e, A, (ae, $ß) = A, — 4A, cos? 8

—= sin? «a — cos?ß, A, (a, ß,y) = Is — Ay c08? y = sin?a sin?y — cos? ß,

„JI,(0,ß,...&r,0)=4,-,(& ß,...&%7)— 008? 4(a,ß,...d). .» .:. U

Die Realität des Orthoschems S (a, ß,...r, ©) erfordert, dass keine dieser Deter- minanten negativ sei. Die Reihe ihrer Werte nimmt also fortwährend ab, und daher ist es nicht möglich, dass eine ausser der letzten verschwinde. Man sielıt leicht, dass die Determinanten auch durch Kettenbrüche definiert werden können; denn es ist z. B.

en N, ©) u cos? «

A B y,6Ö u /E 9 1 cos? pP cos?y = 2 cos? d 1 1 BE cos!n 1] — cus?@

- 90 — Aus (1) folgt auch leicht

4 (a, ß,...8,6,7, ©) -4-c08?7 4(a,ß,...e)=sin?O 4(a,ß,...e,L).

Wenn also A(a,ß,...&8,&,17,0)= 0 ist, so hat man

I'a,ß,...8,8,n) I'a,ß,...8,$) .

: Ilaß,...e sın’O = cos? n er

o cos’Q) = ey 4'0,B,..2.65)

Zwei Sätze über die mit 4 bezeichneten Funktionen mögen das folgende vor- bereiten.

1. Es ıst

4(B,9,...7, 9): A (a,ß,Y,...7,©) 4(By...7) Ila,ßı9,...7)

4(y,...7,9)-A(B,Y,...7,©) E Ay...) Aldıy...n) |

Um dieses zu beweisen, braucht man nur im Schema links die erste Vertikalzeile von der zweiten abzuziehen und dann beide Zeilen zu vertauschen, indem man zugleich das Vorzeichen der Determinante verändert. Wenn man aber die Determinante rechts wieder so behandelt und dieses Verfahren fortsetzt, so gelangt man zuletzt zur Derminante

= (05° «a

A, .I (9) | =1—sin?O = cos? 9; 4.4, also ist

4(a,ß,...3)4(B,...1,0) — 4(a,ß,...7, ©) 4A (ß,...7,) = cos?acos?$cos’y...cos’O. (2)

2. Multipliziert man die Gleichungen

I(a,ß,Y,..-..- VID Vs Co) — cos’ a I(y,d,...L), 48, 90,...&)=Alyd,...6%)— cos®’R4A(d,...L, 2), Ay, ö,...&51,9)= 41(9,0,...5,7) — c0o?O4A(y,d,...d), 4 (d...5,7,9,0)= 4(d,...£,7,0) — cos’« 4(d,...L&,n)

resp. mit 4(d,...5,7), — 4(d,...{), 4(d,...d), — Iyd,...d), addiert sie und bezeichnet die Summe links mit G, so hat man G=4(6,...L,ı) [4 (8,9,8,...9)+ 008? 8.1(6,...d)) — 419,...d) 190,...5,,6)+ 608°@.1(d,...2)) = 4(d,....&r) Id...) 4... D)Ald,...2r)>=d.

Man hat also die identische Gleichung

Se az

—Mmn- 1

| - Ai ne m

= GT, =

4 (a, ß,1,d,.-.8)4(d,...6,7,)— I(d,...6,n,0,c)I(y,d,...) = [2@,98,...6)-496...6 9}... ee

‘ Um ‘nun zum eigentlichen Gegenstand dieses Paragraphen überzugehen, setzen wir den Fall, wo in der Gleichung (1) des vorigen Paragraphen die perissosphärische Funktion links verschwindet. Es seien «@,ß,Y,d,...%,4, 1. ihre 2n Argumente, so giebt die erwähnte Gleichung die Summe der zwei artiosphärischen Orthoscheme |

By...) +fB,9%d..,% 4, u)

in ganzer Funktion artiosphärischer Orthoscheme niedrigerer Ordnung. Man kann aber eine in sich zurückkehrende Reihe solcher Gleichungen auf folgendem Wege erhalten.

Die 2n — 1 Argumente a, ß,y,d,...%,4 seien frei im ersten Quadranten ge- geben, aber so, dass ihre Determinante positiv wird; dann seien drei fernere Argumente u, v, 5 durch die Gleichungen

I(,B,...,u)=0, IB, y..:wr)=0, Iyd.. vv, d)=0 ... (4)

bestimmt. Da nur die Quadrate der Kosinusse hier vorkomnien, so steht es uns frei, auch u, », &$ im ersten Quadranten zu nehmen. Da (9, d,...A, u) positiv ist, so folgt nach (3) aus den drei Gleichungen (4)

II, EDER TI: ee

Ebenso folgt aus den zwei letzten Gleichungen (4) und aus (5) die Gleichung Je...) =d,

und so fort; überhaupt verschwindet jede Determinante, welche sich auf 2n successive Argumente der durch fortwährende Wiederholung der (2n-+ 2)-gliedrigen Periode a«,B,y,d,...% 4,4, »,& bezieht. Daher verschwindet auch jedes perissosphärische Orthoschem, welches einer solchen Determinante entspricht. Wendet man immer die Gleichung (1) des $ 26 an, so sieht man eine Periode der (2n + 2)-artiosphärischen Orthoscheme f (a, B,... N. SB n--- (IM: FG: d ER...) entstehen, wo immer die Summe von zwei unmittelbar auf einander folgenden Gliedern als ganze Funktion niedrigerer artiosphärischer Orthoscheme gegeben ist. Man kann also auch entweder die Summe oder den Unterschied von irgend zwei getrennten Gliedern der Periode auf ähnliche Weise ausdrücken, je nachdem eine gerade oder un- gerade Zahl von Gliedern dazwischen liegt. Wenn im ersten Falle beide Glieder ein- ander gleich sind, so ist jedes derselben durch niedrigere Orthoscheme ausgedrückt, ein Umstand, den wir im folgenden Paragraphen betrachten werden.

92 —

Wir wollen die drei letzten Argumente u, », ö der Periode durch die unabhängigen @,ß,%,...%, 4 ausdrücken. Man hat auf der Stelle

I(a,ß,...%, 4) I(a,ßB,...% ’

I (a, 8, ech, A)

cos’ä = Day (6)

cos’u =

wofür man auch die entsprechenden Kettenbrüche setzen kann. Um » zu finden, müssen wir aus der Gleichung

ee) Pu | (B, )» ..ch, A)

cos? v u eliminieren. Wegen 2 («,ß,y,...4, u) = 0 giebt uns die Relation (2) A (a,ß,...%,A) A(P,y,...A,u) = cos?’acos’ßcos?y...cos?A cos’ u.

Mittelst (6) bekommen wir also

dach cos? « cos? 3 cos?y...cos?‘ I, ß,...%, 4) m za er ee ee) U Pe FT EN I0B,:.:+4) oder endlich 2 cos? a cos? B cos? y... cos? A LOSE VE ee nn en IWB Yen Id... AA) (7) net ee Ann | Ale, By...) IB, 9...)

Zum Schlusse wollen wir den Grund der Periodicität der Argumente in den Polynomen selbst aufsuchen. Es sei n die gerade Dimensionszahl eines Orthoschems $(123...n) und ein (n+-1)-tes Polynom durch die Bedingung 4 (12...n (n+1))=0 bestimmt, sodass das perissosphärische Orthoschem $8 (123...n(n-+1)) verschwindet. Wenn man nun auch n-+ 1 orthogonale Variabeln gebraucht, so kann man doch ihr System immer so einrichten, dass die n ersten Polynome nur die n Variabeln x, 2, -..%&, enthalten. Wegen des Verschwindens der Determinante muss aber das Polynom P„zı von den vorigen abhängen und kann daher xz,;, auch nicht enthalten. Aus 4(23...n (n+1) (mn +2))= 0 wird das Gleiche in Beziehung auf p,.+. geschlossen, und so fort. Da also die Variable x,,, nirgends vorkommt, so hat die Betrachtung sich auf die x-Sphäre zu beschränken. — Wie im Eingang zu $ 25 gezeigt ward, kann man bei der Darstellung eines Orthoschems die Variabeln immer so wählen, dass das erste Grenzpolynom nur eine, jedes folgende nur zwei Variabeln und zwar immer eine neue enthält. \Vendet man dieses auf das verschwindende Orthoschem $S(123...n(n+1)) an, so erhalten die Polynome p,,Pz,--.?„ dieselben Ausdrücke wie ın $ 25, dagegen wird pP, = — %u. Da ferner S(234...n (nr +1)(n--2))=0 sein soll, so hat man

ein neues Polynom 9,4, zu suchen, welches zu 9,,P3,...», orthogonal ist; es ist durch diese Bedingungen vollkommen bestimmt und wird im allgemeinen alle Variabeln X, %gy... X, enthalten. Soll ein folgendes Polynom, ohne eine neue Variable aufzunehmen, ZU Pz>Pas---Par Pu+ı Orthogonal sein, so erfüllt nur p, diese Bedingung, sodass man S(34...nn+1)(n+2)1)=0 hat. Wie dies weiter geht, ist klar; wir sehen daraus, dass auch die Polynome 9, , Pa - + : Pr» Pati Pn+2 eine Periode bilden.

$ 28. Anwendung des vorigen auf die Bestimmung artiosphärischer Orthoscheme

in einigen besondern Fällen.

Es ist leicht zu beweisen, dass überhaupt I(a,...6,8,5,710©,...1) = 4(a,...0,e) A(7,0,...1)— cos?& A(o,...d)A(O,...ı) (1)

ist. Denn nehmen wir an, die Formel sei bis zu einer gewissen Zahl von Argumenten 7, ©,...%,4, welche auf & folgen, bereits bewiesen, und denken uns die vorliegende Gleichung (1) noch einmal mit Weglassung des letzten Arguments A geschrieben, multi- plizieren diese mit — cos? u und fügen sie der vorigen hinzu, so ergiebt sich offenbar eine ähnliche Gleichung, worin u als letztes Argument erscheint, und daher die Zalıl der auf & folgenden Argumente 7, ®©,...#,4, u um 1 grösser ist als vorhin. Da nun die Richtigkeit der Formel (1) für ein einziges auf & folgendes Argument 7 leicht ein- zusehen ist, so ist dieselbe allgemein bewiesen.

I. Vergegenwärtigen wir uns wieder die in $ 27 behandelte Periode von 2n-+ 2 Argumenten «, ßB,y,d,...%, 4, u,»,& und verlangen, dass das (n —2)-te Orthoschem mit dem ersten S (a, ß,...%, A) direkt zusammenfalle, so ist klar, dass auch die Periode der Argumente aus zwei direkt kongruenten Hälften bestehen muss; sie sei

0.8, 9 2-:&67,09,0,:.0,9,5266 9, 0.

Von den drei Bedingungsgleichungen, denen diese Argumentenreihe genügen muss; untersuchen wir nur die erste

40,942, 0 del, mit der Absicht, sie nach cos? © aufzulösen. Wir finden nach (1) 40...) B,...69) — 000 4(,...,)= 0, also, da 4 (a, ß,...E) nicht verschwinden darf,

2360, 9,5, 0) art again ee rn)

2. 3gf, Machen wir hier cos? », frei, so. bekommen wir a4(0,ß,...88) — cs? 4(B,...,)— cos’nA(a,ß,...e)= (0,

oder auch | A4(9,0,ß,...8,$) — cos’nA(a,ß,...e) = 0,

d. h. die Gleichung (2) koincidiert mit einer ähnlichen, worin die periodische Argumenten- reihe um ein Glied zurückgeschoben erscheint. Die eine und selbe Gleichung (2) kann also im ganzen unter n -—-1 Gestalten erscheinen, welche durch eine Art von Kreis- bewegung der n—+-1 Argumente in einander übergehen. Da nun die drei Bedingungs- gleichungen, von denen im Anfang gesprochen wurde, nichts anders als die resp. mit den Faktoren 4 (a,ß,...8), A(B, 9 ..:-&7) 4%, ...7, ©) multiplizierte Gleichung (2) sind, so sind sie alle zugleich mit dieser Gleichung (2) erfüllt. Dass die Gleichung (2) von der Wahl des Anfangs der Argumentenreihe unabhängig ist, kann auch unmittelbar eingesehen werden, wenn man ihr die Form

2 c08ac0sß... cosr, cos O+ l -—eosa:- 0 °-. 0 + .0 0 °°—cs9ı = (0 —cosa- 1 -—cosß- 0 ----. 0 °- 09. ..0 0 — cos ß 1 — c0SY 0 0 0 0-0... 00.0 rer. —cost- 1 -—cosz

—c050: 0°. 0.0 rer 0 »—cosy: 1

giebt. Damit nun von dem Gesagten eine Anwendung auf die Bestimmung der ortho- schematischen Funktion

ER U Re 2 3 AR © PR. 20 TERBREE >)

möglich sei (ein Ausdruck durch artiosphärische Funktionen niedrigerer Ordnung), so müssen uns die bekannten Ausdrücke für die Summe je zweier successiver Orthoscheme nach einer Reihe wechselnder Additionen und Subtraktionen auf eine Summe, nicht auf einen Unterschied, des ersten und (n—-2)-ten Orthoschems führen; deshalb muss n gerade sein, d. h. die Dimensionszahl der Sphäre muss durch 4 teilbar sein. Für die Tetrasphäre braucht man drei Argumente a, ß, y; die Relation (2), welche sie verbindet, wird | cos’a—+cos’B-cos’7=1l. . . ......60

Das zweite Beispiel der Formel (1) in $ 26 giebt

0 = fe, B, 7» «) = f(P, (2) ) AR (e)/(«) =) (a, P, y) — 2/(«) A) = (2) —+ 2,

oder:

Rd ten) = HS HL AHFD 2 N BE

SW. BIT IE ß,y) = NH fe +/A+2/0 2 hieraus folgt:

2. =FSM-A-FAP—-A- FM... .. Für die Oktasphäre braucht man fünf Argumente «, ß, y, d, €; die Relation (2) wird:

1 — cos?& — cos? B — cos? y — cos? d — cos? e-- cos? @ cos? y —- cos? ß cos? d+ cos’ y cos? e

+ cos? d cos? @ —- cos? e cos® RL

Diese Gleichung hat das Eigentümliche, dass, wenn ihr a, ß, y, de genügen, dann auch die Komplemente genügen werden. Man bemerke aber, dass 4 ( —a, 3 — ) = — A4(a,ß)

ist. Wenn also eine Lösung für das Orthoschem taugt, so giebt die mit den Komple- menten ein unmögliches Orthoschem. Um Raum zu gewinnen, lasse ich in der folgenden Formel die Trennungszeichen zwischen den Argumenten einer Funktion weg.

SlaBrdea)=- FW) Fleßrsa+Al—fÄ)FwIEaP)

Hrarar sed fen’ T/eeh— se

+ Sfr +5 Se! + HFAHLD)FLRBY) 4 f ( HOFER + WAS)

Ford TOLLE) Fer

2a) —2/WIJ) HF (Fl) +FR) +/0) +f FH HEN 7 Setzt man alle fünf Argumente einander gleich, so wird die einzig mögliche Lösung cos? a = = (1 — Y+) ‚a= 5 — I arctang 2; der Ausdruck für die okto-

sphärische Funktion reduziert sich auf

SERIE HRS HER AFA HS - 1ERH20R N.

II. Sollten in der Periode der 2n-sphärischen Funktionen zwei successive ver- kehrt zusammenfallen, z. B. die erste und die zweite, so muss das 2n-te Argument dem ersten, das (2n — 1)-te dem zweiten, u. s. f., endlich das (n +: 1)-te dem n-ten gleich sein.

=, 0

Die Argumente seien demnach ß,9,...r, ©, ©, r,...7,ß. Dem ersten ß gehe « voran. Es müssen dann die zwei Gleichungen

4 (89,550, 0 ne) Eee ae 3, Ye ee (6)

erfüllt sein. Wird die erste so geschrieben A,d,...,9, 9,1... e)=d,

so ist sie gerade die dritte Bedingungsgleichung. Es bleiben also nur zwei Bedingungen zu erfüllen; und das (?n—+ 1)-te und (2n —+-2)-te Argument sind einander gleich. Man hat also im ganzen nur n—+-1 verschiedene Argumente «,ß,Y,...&,r, ©, wovon zwei, z.B. « und ®, in Funktion der n — 1 übrigen 8, 9,...&,» bestimmt sind. Die Glei- chung (6) wird nach (1)

A(B,y,...1,9) A(1,&,...9,ß) — co? A(B,y,...1)4I(&,...9,ß) = 41...) lan...) 20004...)

also 2'By,...Cn Ay... 2 r/ı >; __ ‘2 Und cos’ = — - ———— , — 00820 = cos’n —. — IN Terre) Ü (Ban ea) und hiernach durch blosse Umkehrung der Argumentenreihe IB, y...6N 4(0,...&, 92 — rs , > u Ba ie 2 NEN SIERT cos” « a cos 2 « cos” ß Bor En’

was man auch auf einem etwas längeren Wege durch Substitution des schon gefundenen © in der Gleichung (5) erhält.

F