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MÉMOIRES DE L’'ACADÈEMIE ROYALE

SCIENCES , DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS

DE BELGIQUE.

$. 70/. D.57.

MÉMOIRES

L'ACADÉMIE ROYALE

DES

SCIENCES. DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS

DE BELGIQUE.

TOME XXXI.

BRUXELLES,

M. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE.

1859.

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2 N

te ; vri #0 di

LISTE DES MEMBRES,

DES CORRESPONDANTS ET DES ASSOCIÉS DE L'ACADÉMIE.

(1er février 1859.)

LE ROIÏ, ProrTEcTEUr.

M. Fr. Jos. Féris, président pour 1859. » Ad. Querecer, secrétaire perpétuel.

COMMISSION ADMINISTRATIVE.

Le directeur de la classe des Sciences, M. Mecsens. » » des Lettres, M. le baron De GERLACHE. » » des Beaux-Arts, M. Fr. Jos. Féris. Le Secrétaire perpétuel, M. Ad. Querezer. Le délégué de la classe des Sciences, M. Sras , trésorier. » » des Lettres, M. Lecrerco. » » des Beaux-Arts, M. BRAEuT.

Tome XXXI. ]

| |

CLASSE DES SCIENCES, M. Meisens, directeur pour 1859.

» Ad. Quereuer, secrélaire perpéluel.

30 MEMBRES.

Section des sciences mathématiques et physiques (15 membres).

! Quereuer, À. J. L.; à Bruxelles. . + . . . Élu le Ler février Tiumerwans, J. A.: à Gand. à: +: : : * 12 octobre Martens. M. à Louvain" 1) décemb. PrATEAU, DAT EE CAN ER RD NUECEMR: Desvauxe C9. PJ Stabiése EIRE décernbe SrAst JS -cacbruxelle RE TE Ce De De Konnox, L. G.; à Liége: . . . + . . *— 15 décemb: DedWVaux. Ad. Je 'arbiusele ET GE décemp: NerenBurcer , G. A.; à Bruxelles . . . . . 15 décemb. Mersens, H. L. F.; à Bruxelles. . . . . . 15 décemb. Soraan, M: à Liége "7 MOIS EN «= 0 décee Lriene. J'1B- Ja Bruxelles M NS decemnh: Düurrez EI AGREE AT GidECEMb: Brasseur. J. B.faiLiépe, : . 0 TRE tdEcemb} Houzeau. JC. à Bruxelles ED:

Section des sciences naturelles (15 membres).

. D'Omauus »'Hazroy, J. B. J.; à Halloy . . . Nommé le 3 juillet Vannenmaëcen, P. M. G.: à Bruxelles . . . . Élu le 10 Janvier Dunorner. BG: alournals RE nai SAUVEUR, J. J. D.; à Bruxelles . . . . . . 7 novemb. Wesmier. C.Ea Bruxelles. RS 5 décemb: CANBRAINE SE ES CAN ce mbE Kick les à Gandi M2 ONE ER 15 décemb. Van BEnEDEN, P. J.; à Louvain. . . . . . _ 15 décemb.

De Sezvs-Lonccuaurs. Edm.; à Liége. . . . -— 16 décemb.

1820. 1833. 1835. 1836. 1841. 1841. 1842. 1846. 1849. 1850. 1851. 1853. 1854. 1855. 1856.

1816. 1829. 1829. 1829. 1835. 1836. 1837. 1822. 1846.

. Le vicomte Du Bus. B. A. L.; à Bruxelles

. Maus, M. H. J.; à Mons

. Vène, À.; à Paris.

nee

Nysr, Henri; à Anvers . Giuce, T.; à Bruxelles . Poerwan, Charles: à Gand .

CORRESPONDANTS (10 au plus).

Donny, F.M.L. ; à Gand. Dewaique, G.; à Liége . Qusrezer , Ern.; à Bruxelles D'Upeken, J.; à Bruxelles GLorsener, M.; à Liége . Monrieny , Charles; à Anvers Cannëze, E.; à Liége. Cuapuis, F.; à Verviers .

50 ASSOCIÉS.

. Élu le

. Élu le 16 décemb. 17 décemb. 15 décemb. 16 décemb.

16 décemb. 15 décemb. 18 16 décemb. 14 décemb. 14 décemb. 15 décemb. - 16 décemb. 15 décemb. 15 décemb.

Section des sciences mathématiques et physiques (25 associés).

che F. D.; à M cle

- Bas8ace, Ch.; à Londres.

He sir John F. W.; à Londres. Barcow, P.; à Woolwich

Soura, sir James; à Londres SABINE, Ed. ; à Londres .

Cuases, M.: à Paris.

Evcke, J. F.; à Berlin.

Van Ress, R.; à Utrecht. Brewsrer, sir David ; à Édimbourg Le baron Pzana, J.; à Turin Marreucai, Ch. ; à Pise

Bacue, Alex. D: Æ À dede DE LA Rive, Aug.; à Genève Dumas, J. B.; à Paris.

. Élu le

février mai octobre octobre

it jp

2 février février

noyemb.

) mars avril avril

8 novemb.

9 mai 9 mai

17 décemb.

2

8

7

7

0 novemb. 0 novemb. 2 4 7

6 5 )

1846. 1847. 1849. 1857.

1846. 50. 1854. 1855. 1855. 1856. 1857. 1858. 1858.

1821. 1824. 1826. 1826. 1827. 1827. 1828. 1829. 1829. 1830. 1834. . 1834. 1854 1842. 1842. 1843.

.… Faranay, Michel; à Woolwich .

Lamwarce, Ern.; à Gand . Wuearsrone, Ch. ; à Londres

Le baron Lugic, Juste; à Munich. Amy, G. B.; à Greenwich

Maury, M.; à Washington .

Leseune-Dincuzer, P. G.; à Gôltingue.

Hansreen, Ch.; à Christiania ArGeLanver, F. W. A.; à Bonn .

. Élu le

17 décemb. 17 décemb. 15 décemb. 15 décemb. 15 décemb. 16 décemb. 14 décemb. - 14 décemb. 15 décemb.

Section des sciences naturelles (25 associés).

. Vroux, G.; à Amsterdam .

Moreau ne Jonnës, Alex.: à Paris Viscerué, L. R.; à Paris. Berrocon, Ant.; à Bologne . GrANVILE, À. B.; à Londres Barrar, John; à Grassinton-Moor. Tayzor, John; à Londres

Biuue, Ch. L.; à Leide .

Le baron pe Humsoupr, À.; à Berlin De Maceno; à Lisbonne .

Decaisne , Jos.; à Paris . Tispeuann, Fr.; à Munich

Scuwann, Th.; à Liége .

Srminc, À. F. R.; à Liége , DE Manrius, Ch. Fr. Ph.; à Munich Laconpame, Th. J.; à Liége. Owex, Richard ; à Londres.

Éue De Beaumonr, J. B.; à Paris Epwarps, Henri Milne ; à Paris. Fcourens, M. J. P.; à Paris.

Muromsox, sir Roderick; à Londres .

ScuLeceL ; à Leide. AGassiz, Louis; à Boston Hamneer. Guillaume: à Vienne

. Nommé le 3 juillet . Élu le 21 mai MG limars

6 octobre 6 octobre ler mars ler mars 2 mai

3 avril

15 décemb. - 15 décemb. 15 décemb. 14 décemb. 14 décemb.

9 mai

15 décemb. 17 décemb. 17 décemb. 15 décemb. 15 décemb. 14 décemb. 16 décemb. 15 décemb. 15 décemb.

1847. 1847. 1849. 1851. 1853. 1854. 1855. 1855. 1356.

1816. 1825. 1627. 1827. 1827. 1826. 1828. 1829. 1830. 1856. 1836. 1637. 1841. 1841. 1842. 18-42. 1847. 1847. 1850. 1853. 1855. 1857. 1858. 1858.

. Sreur. Ch.; à Gand .

| ot |

CLASSE DES LETTRES,

M. le baron ne GerLacue, directeur pour 1859. » Ad. Querecer. secrélaire perpétuel.

30 MEMBRES.

La section des lettres et celle des sciences morales et pohtiques reéunres.

Le baron de GerLacue , E. C.; à Bruxelles

12 octobre GrANDGAGNAGE, F. C. J.; à Liége 7 mars De Suer, J. J.; à Gand. 6 juin DE Raw, P.F. X.; à Louvain 15 décemb. Rouzez, J. E. G. ; à Gand: . 15 décemb. Moe, H. G.; à Gand 7 mai Le baron Noruous, J. B.; à Berlin. 7 mai Van ne Wevyes, Sylvain; à Londres 7 mai Gacrarp, L. P.; à Bruxelles NE 49 mai Quereuer, A. J. L.; à Bruxelles. . . . . . Nommé le 1er déc. Van Praer, Jules; à Bruxelles . . Élu le 10 janvier Borener, À. C. J.; à Liége . CE 10 janvier Le baron de Sanr-Genois , Jules; à Gand —— 10 janvier Davin, J. B.; à Louvain. 10 janvier Devaux, P. L. [.; à Bruxelles . . 10 janvier De Decxer, P. J. F.; à Bruxelles . 10 janvier SNELLAERT , F. À.; à Gand 11 janvier Carrow, C. L.; à Bruges. 11 janvier Haus, J. J.; à Gand. 11 janvier Boruans, J. H.; à Liége . ; 11 janvier Leczerco , M. N. J.; à Bruxelles 17 mai Pozan, M. L.; à Liége . ; 7 mai Bacuer, F. N. J. G.; à Louvain 6 mai

. Élu le 5 décemb

. 1829. 1833. 1835. 1835. 1837. 1837. 1840. 1840. 1840. 1842. 1845. 1846. 1846. 1846. 1846. 1846. 1846. 18-47. 1547. 1847. 1847. 1847. 1849. 1850.

M.

0

Le baron pe Wavre, J. J. A. M.; à Anvers . . Élu le 6 mai

RAmER CR: a Bruxelles RE CEST + A Et

Aeenors G:. A7: d'LOUVANE. ON ERA CORRESPONDANTS (10 au plus).

(GRUYER (Louis: A1 Bruxelles “NP Élu le 10 janvier Ducreriaux , Éd. ; à Bruxelles . . . . . . -- 11 janvier SERAURE, (CPAS AN Gand M MEME NUE EnVIen Marmeu, Adolphe C. G.; à Bruxelles. . . . 6 mai Kenvyx DE Lerrenuove, J. M. B. C.; à Bruges . 6 mai CrAron 1R:5 0 Bruxelles MP A 0 mal MHomssen, JE 2 Louyan ONE /mai Van Duvses Pi alGande en Le. LE + him Jusre , Théodore ; à Bruxelles . . . . . . 26 mai Deracoz. Es à Bruxelles"... 26 mai

50 ASSOCIÉS.

. Le duc d'Ursez, C.; à Bruxelles . . . . Nommé le 3 juillet De Mouéon. J. G. V.; à Paris . . . . . . Élu le 14 octobre JENORMAND, L-1S6D.- à Paris _— 14 octobre De La Fontaine; à Luxembourg . . . . . 923 décemb. Cousin. Victor: à Paris CN CN octobre Coco P'aLondres tt RS CR A Sarl be Gran A alilles SE TR DATI MonE- FJ51à Cars AI GROEN van Prinsterer ; à la Haye . . . . . 15 décemb. Lenormanr, Charles: à Paris + : _ 14 décemb: GAZZERA IC AVENUE PR ce D: Gr, Jacques; à Berlin . . . . . . . 15 décemb. PRILEES GS AVIENNE CR NP EE AI EUÉCENN: Dinaux, Arthur: a1MOntataire 9 février Euris; sir Henry: à Eondres "février

1851. 1855. 1855.

1846. 1947. 1347. 1850. 1850. 1851. 1855. 1855. 1856. 1856.

1816. 1820. 1820. 1622. 1827. 1834. 1834. 1840. 1810. 1941. 1842. 1842. 1842. 1846. 1846.

. Guizor, F. P. G.: à Paris .

Micner. F. À. A.; à Paris.

Rarn, C. C.; à Copenhague

De La Sacra, Ramon; à Madrid Ranxe, Léopold; à Berlin .

Sazva, Miguel; à Madrid . Wannkoeme, L. A.; à Sluttgard . Le baron Durin, Charles; à Paris . =. De Hurrer, F.; à Vienne .

Lezmans, C. ; à Leide ie da Mirrenmaler , C. J. À.; à Heidelberg . Perrz, G. H.; à Berlin. he Rirrer, Ch.: à Berlin

Le comte Mawzont, A.; à Milan

Noer DE BRAUWERE VAN ST£ELAND, J.; à Hranellee

De Bonnecuose, Em. ; à Paris .

Wuewezz, W.; à Cambridge . Nassau-Senior , G.; à Londres. » Le duc ne Carauan, V. A. C.; à Beaumont . Le comte ne Lasorne, Léon; à Paris.

Le Czerc, Victor; à Paris . : Le comte pe MonrazeuerT, C.; à Pire ; Le chevalier pe Rossi, J. B.; à Rome Macauzay, Th. NE à Londres

Say, H.; à Paris.

Rau, C. H.; à Heidelberg.

Paris, À. Paulin; à Paris .

De Lowçrérier , Adrien ; à Paris

Dierenici, C. F. G.; à Berlin

De Reumonr, Alfred ; à Florence

9 9 9 9 9 9

9 11 11 11 11 11 11 17

février février février février février février février janvier janvier janvier janvier janvier janvier mai

1846. 1846. 1846. 1846. 1846. 1846. 1846. 1847. 1847. 1847. 1947. 1847. 1847. 1847. 1849. 1849. 1849. 1849. 1849. 1851. 1855. 1855. 1855. 1855. 1855. 1855. 1856. 1856. 1856. 1856.

22 PTE

CLASSE DES BEAUX-ARTS,

M. Fr. Jos. Fénis, directeur pour 1859. » Ad. Querezrr. secrétaire perpéluel.

50 MEMBRES.

Section de Peinture:

. DE Kevzer, N.; à Anvers .

Garzair, Louis; à Bruxelles

Leys, H.; à Anvers .

Mapou, Jean ; à Bruxelles .

Navez, FE. J.; à Bruxelles . 5 VerBorckHovEN, Eugène; à Bruxelles . Le baron Warprers, G.; à Anvers.

De Brarkezrer , F.; à Anvers Porrazzs , Jean ; à Bruxelles

Section de Sculpture :

. Gers, Guillaume; à Bruxelles.

Smonis, Eugène ; à Bruxelles . Gezrs, Joseph ; à Anvers Fran, C. A.; à Bruxelles.

Section de Gravure :

. Brazur, J. P.; à Bruxelles

Cor, M. Érin ; à Anvers

Section d'Architecture :

. Roëcannr, L. J. A.; à Gand

Suys, T. F.; à Bruxelles

. Nommé le 1er décemb.

1er décemb.

le 8 janvier 4 janvier

. Nommé le 1er décemb. 1er décemb.

Élu le 9 janvier 8 janvier

. Nommé le 1er décemb.

Élu le 9 janvier

. Nommé le 1er décemb.

1er décemb.

ler décemb. 1er décemb. 1er décemb. 1er décemb. 1er décemb.

1845. 1845. 1845. 1945. 1845. 1845. 1845. 1347. 1855.

1845. 1845. 1846. 1847.

1845. 1846.

1845. 1845.

M. Paross, H. L. F.; à Bruxelles . . . . Élu le 9 janvier 1846. DIRENARDE AB: AMNOUENALEN OU OT ES 22 septemb. 1852. Section de Musique ;

M. De Bérior, Ch.; à Paris . . . . . . Nommé le 1er décemb. 1845. » Féris, Fr. Jos. ; à Bruxelles . . . . . 1er décemb. 1845. » Hanssens, Cu. L.; à Bruxelles. . . . . 1er décemb. 1845. ». Vaeuxrewrs, H.; à Bruxelles . . . . . 1er décemb. 1845. D SNEL, F.: d Bruxelles | Hlule 9 janvier 1846. Section des Sciences et des Lettres dans leurs rapports avec les Beaux-Arts :

M. Azvin, Louis J.; à Bruxelles . . . . . Nommé le 1er décemb. 1845. » Querezer, À. J. L.; à Bruxelles . . . . 1er décemb. 1845. » Van Hassezr, André; à Bruxelles. . . . = ler décemb. 1845. » Baron, À. A.; à Liége. . . . . . . Élu le 8 janvier 1847. AUÉETIS Ed; à Bruxelles : : . . . , 8 janvier 1847. » De Bussoner, Edm. ; à Gand . . . . . 5 janvier 1854. CORRESPONDANTS (10 au plus.)

Pour la Peinture :

M. De Bwrve, Édouard; à Bruxelles. . . . Élu le 9 janvier 1846. » Dyoxmans, J. L.; à Anvers. . . . . . 8 janvier 1847. Pour la Sculpture :

M. Jenorre, Louis; à Bruxelles . . . . . Élu le 9 janvier 1846. Pour la Gravure :

M. Jouvexez , A.; à Bruxelles. . . . . . Élu le 8 janvier -1847. » Verswyvez, Michel C. A.; à Anvers. . . 22 septemb. 1852. Pour l'Architecture :

M. Bazar, Alph.; à Bruxelles. . . . . + . Élu le 13 janvier 1853.

Et)

Tome XXXI. 2

M.

10 =

Pour la Musique :

Bosseuer, C. F.; à Bruxelles . . . . . . Élu le 22 septemb. 1852. Pour les Sciences ct les Lettres dans leurs rapports avec les Beaux-Arts : Demaner, A.; à Bruxelles . . , . . . . Élu le 4 janvier 1855. Sirer, Adolphe: à St-Nicolas . . . . , . 4 janvier 1855. 50 ASSOCIÉS. Pour la Peinture .

. Verner, Horace; à Paris . . . . . . . Élu le 6 février 1846. De Conneuus, P.3; à Berlin . . . . . . 6 février 1846. Lanpserr, sir E.; à Londres . . . . . . —. 6 février 1846. KauUzrAGH WE a Muni 7 6 février 1846. Incees, JA MD: à Paris. + M 6tjanvien 1647. Caïame, A. ; à Genèye . . . . . . . . 8 janvier 1847. Becxss , J.: à Francfort. = 40. ee 68 janvier (8e Haone..L.;-à Londres tm 0 Eye At, OA Viet ete Scaxerz,.d.Vista Pans- (ete 1.7 :, 1 —— 22 \septtmb 100 Picor, François; à Pants "4 4 0 ot, , ji Éd. Deracroix , Eugène; à Paris . . . . . . 13 janvier 1859.

Pour la Sculpture : Teneran, Pierre; à Rome. . . . . . . Élu le 8 janvier 1847. Dumonr, ns A.; à Paris . , . . 22 septemb. 1852. Le comte de Nreuwerxerge, Alf.; à Paris . . 22 septemb.1852. Rover, L.; à Amsterdam . . . . . . . 22 septemb. 1852. Lasoureur, M.; à Rome . . . . . . . 10 janvier 1856. DE Bay père, J. B. J.; à Paris . . . . . 8 janvier 1857. Durer Fr. J.; a Paris. LM SR ON 7 janvier 1650 Rirscuez , Ern. ; à Dresde. . . _: : . 0 7 janvier MB56:

Four la Gravure :

. Forsrer , François; à Paris. . . . . . . Élu le 6 février 1846. Hanniquer-Duronr, EP: Paris. . . Mie ONRENERNEET

dit

. Cazamarra , L. À. J.; à Bruxelles.

Bovy, Ant.; à Paris. 3 Pisrruccr, Benedetto ; à Londres: Mercuri, Paul; à Rome

Ouniné, E. À.; à Paris . Marnwer, Achille ; à Paris.

Pour l’Architeeture :

. Donacnson, Thom. ; à Londres

Von Kzewze, Léon; à Munich. CamisriE, Aug. N.; à Paris. Barry. Ch.; à Londres. Srüzer, À. ; à Berlin Cooxerezz, C. R.; à Londres . Forster, Louis ; à Vienne .

Pour la Musique :

. Rossini, J.; à Paris.

Mevyergeer, Giacomo; à FAN Auger, D. F. E.; à Paris Daussorene-Méur, J.; à Liége Hazévy, Jacques F.; à Paris . Spor, L.; à Cassel .

Lacaxer, Fr.; à Munich Mercavanre, S.; à Naples .

. Élu le

. Élu le

8 janvier 8 janvier

22 septemb.

8 janvier 5 janvier 7 janvier

G février G février 8 janvier 8 janvier 6 janvier

22 septemb.

5 janvier

G février G février 6 février 6 février 8 janvier 6 janvier 8 janvier

22 septemb.

Pour les Sciences et les Lettres dans leurs rapports avec les Beaux-Arts :

- Bock, C. P.; à Fribourg en Brisgau.

Passavanr, J. D.; à Francfort. Waacen, Gust.; à Berlin . : De Coussemaxer, Éd.; à Dunkerque . Gernaro, Éd.; à Berlin.

Le comte DE Caumonr, A.; à Caen Quaranra, Bernard; à Naples. Ravaisson, F.; à Paris .

. Élu le

6 février 6 février 8 janvier 8 janvier 8 janvier

22 septemb.

5 janvier 10 janvier

1847. 1847. 1852. 1857. 1857. 1858.

1846. 1846. 1847. 1847. 1847. 1852. 1354.

1846. 1846. 1846. 1846. 1847. 1847. 1847. 1852

1846. 1846. 1847. 1847. 1347. 1848. 1854. 1856.

M.

CES

NÉCROLOGIE.

CLASSE DES SCIENCES.

. Dumowr, André, membre, décédé le 28 février 1857.

Morrex, Charles, membre, décédé le 47 décembre 1858.

Leseue, A. L. S., membre, décédé le 28 décembre 1858.

Meyer , A., correspondant, décédé le 28 avril 1857.

Gaueornt, H., correspondant, décédé le 13 mars 1858.

Mareska, D. J. B., correspondant, décédé le 31 mars 1858.

Bonaparte, Ch. Lucien, prince de Canino, associé, décédé le 29 juillet 1857. De G£er , le baron J. L. G., associé, décédé le 3 novembre 1857.

MÿLLer, Jean, associé, décédé le 28 avril 1858.

Broww, R., associé, décédé le 10 juin 1858.

CLASSE DES LETTRES.

. Van M£enEN, P. F., membre, décédé le 2 mars 1858.

Marcnaz, le chevalier FE. J. F., membre, décédé le 22 avril 1858. ScHayes, À. G. B., membre, décédé le 8 janvier 1859.

DurEau DE LA MaLLe, A. J. C. AÀ., associé, décédé le 17 mai 1857. Panorka, Th., associé, décédé le 20 juin 1858.

Van Ewvcr, D. J., associé, décédé le 22 décembre 1858.

HazLam, H., associé, décédé le ... janvier 1859.

CLASSE DES BEAUX-ARTS. Boucuer Desnoyers, le baron A. L. G., associé, décédé le 15 février 1857.

PRaucx, Chrétien , associé, décédé le 14 octobre 1857. ScHErFER, Ary, associé, décédé le juin 1858.

—— "> C2 9 ——

TABLE

DES MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME XXXI.

CLASSE DES SCIENCES.

Recherches expérimentales et théoriques sur les figures d'équilibre d’une masse liquide sans pesanteur, série; par M. J.-P. Plateau.

Statistique des coups de foudre qui ont frappé des paratonnerres ou des édifices et des navires armés de ces appareils; par M. F. Duprez.

Nouvelle classification des Annélides sétigères abranches; par M. Jules d'Udekem.

OBSERVATIONS DES PHÉNOMÈNES PÉRIODIQUES.

TI. MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE. Observations sur la météorologie, l'électricité el le magnétisme de la terre, faites en 1856 et 1857, à l'Observatoire royal de Bruxelles. Observations météorologiques, faites en 1856 et 1857, à Bruxelles, Gand, Liége, Stavelot, Bastogne, Namur.

IL. OBSERVATIONS BOTANIQUES ET ZOOLOGIQuES. Faites en 1856, 1857 et années antérieures, à Bruxelles, Vilvorde, Anvers , Ostende, Aerschot, Lierre, Stavelot, Namur, Dijon, Venise. Observations botaniques et zoologiques, faites en 1856 et 1857, à des époques déter- minées.

CLASSE DES LETTRES.

Mémoire sur Baudouin IX, comte de Flandre et de Hainaut, et sur les chevaliers belges à la cinquième croisade; par M. J.-J. De Smet.

Un chapitre du droit constitutionnel des Belges.— Le pouvoir judiciaire, deuxième étude : Or- ganisation; par M. M.-N.-J. Leclercq.

CLASSE DES BEAUX-ARTS.

Mémoire sur cette question : Les Grecs et les Romains ont-ils connu l'harmonie simultanée des sons? En ont-ils fait usage dans leur musique? Par M. Fr.-Jos. Fétis,

à. HOPACUMOT. HAVE ren AUD

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RECHERCHES EXPÉRIMENTALES ET THÉORIQUES

SUR

LES FIGURES D'ÉQUILIBRE

D'UNE

MASSE LIQUIDE SANS PESANTEUR;

J. PLATEAU.

QUATRIÈME SÉRIE :.

mie, Le 10 ocrosmx 1857.)

1 Voir, pour les trois séries précédentes, les tomes XVI, XXIII et KXX des Mémoires de l'Académie.

Toue XXXI.

RECHERCHES EXPÉRIMENTALES ET THÉORIQUES

SUR

LES FIGURES D’ÉQUILIBRE

D'UNE

MASSE LIQUIDE SANS PESANTEUR.

FIGURES D'ÉQUILIBRE DE RÉVOLUTION AUTRES QUE LA SPHÈRE ET LE CYLINDRE.

$ 4. La série précédente ayant complété l'étude théorique de la veine liquide, revenons aux masses liquides sans pesanteur, et poursuivons l'examen des figures d'équilibre de révolution.

Rappelons d’abord qu’en désignant par R et R’ les deux rayons de cour- bure principaux en un même point de la surface libre d’une masse liquide sans pesanteur, et par C une constante, l'expression de Ja condition générale à laquelle cette surface doit satisfaire dans l’état d'équilibre est (2° série, Ç 5)

_ + Î =, expression dans laquelle R et R’ sont positifs lorsqu'ils appartiennent à des courbures convexes, ou, en d’autres termes, lorsqu'ils sont dirigés à l'inté- rieur de la masse , et négatifs dans le cas contraire ; rappelons aussi que cette équation est une simple transformation de celle qui exprime que la pression

4 SUR LES FIGURES D'ÉQUILIBRE

exercée par le liquide sur lui-même en vertu de l'attraction mutuelle de ses molécules, ne change pas d’un point à un autre de la surface de la masse (ébid.); rappelons enfin que, d'après une propriété connue des surfaces de révolution , si la figure d'équilibre appartient à cette classe, l'un des rayons R et R' est le rayon de courbure de la ligne méridienne au point que l'on considère , et l’autre est la portion de la normale comprise entre le point dont il s'agit et l'axe de révolution, ou, comme on le dit plus simplement, la nor- male en ce point.

Dans ce même cas, c’est-à-dire dans celui des surfaces de révolution, l'expression précédente, mise sous la forme différentielle, est complétement intégrable par les fonctions elliptiques, de sorte qu'on peut en déduire les formes des lignes méridiennes, et c’est ce dont M. Beer vient de s'occuper dans un mémoire ! il me fait, pour la seconde fois, l'honneur d'appliquer le calcul aux résultats de mes expériences; en outre, une propriété trouvée par M. Delaunay ? à l’aide du calcul, et démontrée depuis géométriquement par M. Lamarle®, permet d'atteindre le même but sans recourir aux fonc- tions elliptiques. Nous parlerons en leur lieu de ces ressources de l'analyse et de la géométrie ; mais, dans la série actuelle, nous nous proposons d'arriver aux formes des lignes méridiennes, à toutes leurs modifications et à tous leurs détails, en nous appuyant sur l'expérience, et en nous aidant du simple rai- sonnement appliqué à la relation que l'équation de l'équilibre établit entre le rayon de courbure et la normale. Notre travail, dans lequel l'expérience et la théorie marcheront toujours côte à côte, pourra, de plus, être considéré comme une vérification de cette dernière.

Afin d'éviter toute ambiguïté, nous remplacerons les lettres R et R' par les lettres M et N, dont la première rappellera qu’elle désigne celui des deux rayons de courbure principaux qui appartient à la ligne méridienne, et dont la seconde rappellera de même qu'elle désigne celui qui constitue la normale;

! Tractatus de theorià mathematicä phaenomenorum in liquidis actioni gravilatis delractis observatorum. Bonn, 1857.

? Sur la Surface de révolution dont la courbure moyenne est constante. (Journal de M. Liou- ville, 184i, tome VI, page 509.)

5 Théorie géométrique des rayons et centres de courbure. (Buzuer. pe L'Acan., 1857, séric, tome Il, pages 53 et 507.)

D'UNE MASSE LIQUIDE SANS PESANTEUR. 5

ainsi, tant qu'il s'agira des figures de révolution, l'équation générale de l'équi- libre sera :

$ 2. Cette notation convenue, nous allons d'abord démontrer que la sphère est la seule figure d'équilibre de révolution dont la ligne méridienne rencontre l'axe. On peut y ajouter le plan, en le considérant comme la limite des sphères, ou comme la surface engendrée par une droite perpendiculaire à l'axe.

Concevons une figure d'équilibre de révolution autre que la sphère et le plan, et dont la ligne méridienne rencontre l'axe. Je dis, en premier lieu, que cette ligne ne peut atteindre l'axe que normalement. En effet, si elle le cou- pait obliquement ou si elle lui était tangente , la normale serait nulle au point d'intersection ou de contact, et la quantité + + + deviendrait infinie en ce point !, tandis qu’elle aurait des valeurs finies dans les points voisins ; cette

{ Il y a toutefois un cas auquel ce raisonnement semblerait n'être pas applicable. On peut concevoir une courbe telle, qu’au point elle rencontre l'axe, le rayon de courbure soit nul, et qu'aux environs de ce point le rayon de courbure et la normale soient de signes contraires; alors la quantité ï += constituerait une différence, dont les deux termes deviendraient à la fois in- finis au point situé sur l'axe, et l’on ne voit pas, au premier abord, que cette différence ne puisse demeurer finie. Nous avons donc à démontrer que la chose est impossible, si la courbe ne rencontre pas l'axe normalement.

Pour cela, mais uniquement dans ce cas, nous serons obligé de faire usage des expressions connues du rayon de courbure et de la normale en fonction des coefficients différentiels.

Si nous prenons l'axe de révolution pour axe des abscisses, nous aurons, comme on sait, p et q étant respectivement les coefficients différentiels du premier et du second ordre de y par rap- portà zx,

E (PESTE

q

NC TO RS 0 EM |

d'où nous déduirons, pour le rapport des deux termes du premier membre de l'équation de l'équilibre,

Soit maintenant y—f{x) l'équation de la ligne méridienne. Prenons pour origine des coar-

6 SUR LES FIGURES D'ÉQUILIBRE

quantité ne serait donc pas constante dans tout le parcours de la courbe comme le veut l'équation de l'équilibre.

Imaginons maintenant que la figure liquide remplisse la condition que nous venons d'établir, et considérons, à partir de l'axe, un arc de la ligne

données le point cette ligne rencontre l'axe, de manière que, pour x=0, on ait y—=0; nous pourrons alors supposer la fonction {(x) développée suivant une série de puissances ascendantes et positives de x; et si nous voulons que la courbe rencontre l'axe sous un angle autre qu'un angle droit, ce qui exige que, pour x=—0, le premier coefficient différentiel soit fini ou nul, il faudra que l’exposant de x dans le premier terme de la série soit l'unité. Remarquons ici que, n'ayant à considérer la courbe qu'au point elle atteint l'axe et dans les points très-voisins, nous pouvons toujours supposer x extrémement petit, en sorte que, relativement à cette por- tion de la courbe, notre série sera nécessairement convergente. Posons donc :

D NOLI-ENDETEEN CEE NN EE EN OT EE

équation dans laquelle les exposants #,n,.... sont positifs et supérieurs à l’unité. On aura con- séquemment :

p = a + mba"t + next +... ..

g = m(m—1) ba" +n(n 1) ex"? +...

La première de ces expressions, quand on y fait x—0, se réduit à p—a, en sorte que la courbe atteint l'axe sous un angle fini, mais autre qu'un droit, ou sous un angle nul, suivant qu'on suppose la constante a finie ou égale à zéro. D'après cela, si J'on veut qu'au point situé sur l'axe le rayon de courbure soit nul, on voit, par la formule [1], qu'en ce même point, q doit être infini, et, en vertu de la seconde des expressions ci-dessus, cette condition sera satisfaite si le premier au moins des exposants #»,n,... est plus petit que 2.

Portons actuellement dans la formule [5] ces mêmes expressions de p et de q et celle de y; il viendra :

1 Mine 1 (a + ma"! + nez"! }?

: = _— mme (mm 1) 02"? +n(n—t)oz" +...) (ax +bx" + cx" +...)

et l'on voit aisément que, pour x—0, ce rapport devient infini. Alors, en effet, puisque les quantités m,n,.. sont toutes supérieures à l'unité, d’une part le numérateur se réduit à 4 + a? c'est-à-dire à une quantité finie, et, d'autre part, le dénominateur, dont le terme de plus petit exposant, après la multiplication effectuée, est m{m—1) abx"—!, s'annule tout entier. Remar- quons, en passant, que ce résultat est indépendant de la condition m<2, en sorte qu'il est vrai aussi bien pour un rayon de courbure fini ou infini au point situé sur l'axe, que pour un rayon de courbure nul; ce qui devait être , d’ailleurs, d’après ce que nous avons vu plus haut. Mainte- nant si, en ce même point, le rayon de courbure est nul, les deux quantités & et 5 prennent, à la vérité, l’une et l’autre une valeur infinie; mais puisque leur rapport devient en même temps infini, leur différence devient également infinie, ce qu'il fallait démontrer.

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méridienne, Puisque, par hypothèse, cette ligne n’est ni droite ni circulaire, la courbure de l'arc variera d’un point à un autre; elle commencera consé- quemment par aller soit en augmentant, soit en diminuant, el nous pourrons prendre l’are assez petit pour que la courbure aille toujours en augmentant, ou toujours en diminuant, à partir du point situé sur l'axe jusqu'à l’autre extré- mité. Supposons d’abord que la courbure aille en croissant, et soit abd (fig. 1) l'arc dont il s’agit. Au point a la normale est couchée sur l'axe, et, à mesure qu’on s'éloigne de ce point, elle fait avec l'axe un angle de plus en plus grand; mais nous limiterons la longueur de l'arc de manière que, de « en d, cet angle ne cesse point d'être aigu. Par les deux points a et d faisons passer un are de cercle acd qui ait son centre sur l'axe, et qui, par conséquent, ren- contre aussi ce dernier normalement.

Puisque l’are abd, dont la courbure va toujours en augmentant, part du point a suivant la même direction que l'are de cercle, et, après s'être séparé de celui-ci, le rejoint en d, il est évident que sa courbure doit d'abord être inférieure à celle de ce second are, et lui devenir ensuite supérieure, en sorte qu’au point d le rayon de courbure de l'arc abd est plus petit que le rayon de l'arc de cercle. Mais de la direction initiale commune des deux ares, et de cette marche relative de la courbure de l'arc abd, il résulte nécessairement que ce dernier est, comme le montre la figure , extérieur à l’autre, et qu'au point d il doit le couper, et non le toucher; si donc on mène, en ce point d, la normale df à l'arc de courbe et le rayon dg de l’are de cercle, la première sera moins oblique sur l'axe que le second, et conséquemment elle sera plus courte. Ainsi, au point d, les deux quantités M et N seront toutes deux moindres que le rayon de l’arc de cercle. Prenons actuellement, dans la partie de l'arc abd la courbure est moindre que celle de l'arc de cercle, un point quelconque », et prenons, sur le second de ces arcs, un point » tel que la portion an soit égale en longueur à la portion am. Dans ces conditions, le point »# sera évi- demment plus éloigné de l'axe que le point n, et, d'autre part, la normale en m sera plus oblique à l’axe que le rayon mené de n; par cette double raison, la normale dont il s’agit sera done plus grande que le rayon de l'arc de cercle ; mais, par suite de l’infériorité de la courbure en #», le rayon de courbure en ce point sera aussi plus grand que le rayon de l'arc de cercle.

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Il résulte de tout cela que les valeurs de M et de N correspondantes au point » sont l’une et l'autre supérieures à celles qui correspondent au point d ; mais il est clair que M et N sont de même signe dans toute la longueur de l'arc abd, et qu'ainsi, au point # comme au point d, la quantité + +< constitue une somme ; cette même quantité est done plus petite en » qu'en d, et conséquemment l'équilibre de la figure liquide engendrée est impossible.

Si l’on suppose maintenant que la courbure de notre are méridien aille toujours en diminuant, comme on le voit en a'b'd' (fig. 2), il est visible qu'alors cet are sera intérieur à l'are de cercle a'c'd' ayant son centre sur l'axe, que sa courbure commencera par être supérieure à celle de ce dernier pour lui devenir ensuite inférieure, et qu'au point d’ lun des ares viendra encore couper l'autre et non le toucher; d’où l’on conelura, par le mode de raisonnement employé dans le cas précédent, que la quantité + es plus grande en un point voisin de a/ qu'en d', en sorte que l'équilibre de la figure engendrée est également impossible.

Done, lorsque la ligne méridienne rencontre l'axe, la condition de léqui- libre ne peut être satisfaite que si celte ligne est une circonférence de cercle ayant son centre sur l'axe, ou, en supposant infini le rayon de cette circon- férence, une droite perpendiculaire à l'axe; donc, enfin, la figure engendrée est nécessairement une sphère ou un plan.

De découle, comme conséquence nécessaire, la vérité de la proposition que j'ai avancée (2 série, Ç 28) d’après les résultats de l'expérience, savoir que lorsqu'une portion continue et finie d’une surface d'équilibre s'appuie sur une périphérie circulaire, eette portion doit constituer une calotte sphé- rique un plan. Pour qu'il pt en être autrement, il faudrait que la calotte courbe ne fût pas de révolution, ce qui ne se réalise jamais.

$ 3.— Les lignes méridiennes des autres figures d'équilibre de révolution ne pouvant avoir aucun point de commun avec l'axe, ces lignes devront ou s'étendre à l'infini, ou se fermer en dehors de l'axe. Les premières engendre- ront des figures qui s'étendent elles-mêmes à l'infini, et le cylindre nous en a déjà offert un exemple. Les secondes donneraient des figures annulaires ; nous saurons, à la fin de cette série, si l'existence de semblables figures est possible.

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Pour simplifier la recherche des lignes dont il s’agit, nous allons démon- trer qu’elles ne contiennent aucun point de rebroussement. Supposons l’exis- tence d’un point de cette nature; nous avons à considérer trois cas : celui la tangente au point de rebroussement, tangente qui y est commune aux deux branches de la courbe, n’est pas perpendiculaire à l'axe de révolution, quelque autre direction qu'elle ait d’ailleurs ; celui cette tangente com- mune est perpendiculaire à l’axe et les deux branches se rapprochent de celui-ci en allant vers le point de rebroussement ; enfin celui où, la tan- gente commune étant encore perpendiculaire à l'axe, les deux branches, en allant vers le point de rebroussement, s’éloignent de cet axe.

Premier cas. En jetant les yeux sur la fig. 3 qui représente, en coupes méridiennes, des portions de la figure liquide pour différentes positions du point de rebroussement par rapport à l'axe de révolution ZZ’, on reconnaitra sans peine qu'aux environs de ce point, la normale est toujours, pour l’une des branches, dirigée à l'intérieur du liquide et conséquemment positive, tandis que, pour l’autre, elle est dirigée à l'extérieur et conséquemment néga- tive; or l'équation +<— C ne saurait comprendre ce changement de signe de la normale N en passant d’une branche à l’autre : car il exigerait qu’au point de rebroussement cette normale fût nulle ou infinie, et, dans le cas actuel, la normale en question est évidemment finie, puisque la tangente n’est pas perpendiculaire à l'axe, et que le point de rebroussement ne peut être sur celui-ci.

Deuxième cas (fig. 4). Si le point de rebroussement est de seconde espèce, c’est-à-dire si les deux branches qui y aboutissent sont situées du même côté de la tangente commune, on voit que, pour l’une de ces branches, la normale et le rayon de courbure sont tous deux positifs, tandis que, pour l'autre, ils sont tous deux négatifs; la quantité & ++ changerait donc de signe en passant de l’une à l’autre, et ainsi ne serait plus la même dans toute l'étendue de la figure liquide.

Si le point de rebroussement est de première espèce, c’est-à-dire si les deux branches sont situées des deux côtés opposés de la tangente commune, le rayon de courbure y est, comme on sait, nul ou infini; mais un rayon de courbure nul rendrait infinie la quantité ; ++, en sorte que nous

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n'avons à examiner que l'hypothèse d'un rayon de courbure infini. Alors comme, d’après la direction de la tangente, la normale est également infinie au point que nous considérons, la quantité ;; + & se réduirait à zéro au même point; il faudrait done, pour l'équilibre, que cette quantité fût nulle aussi en tous les autres points de la ligne méridienne; or cela est impossible, puisque, dès qu'on s’écarte du point de rebroussement, le rayon de cour- bure et la normale prennent, sur chacune des deux branches en particulier, des valeurs finies et de même signe.

Troisième cas (fig. 4"). Si le point de rebroussement est de seconde espèce, le rayon de courbure a des signes opposés sur les deux branches, et conséquemment il doit être nul ou infini au point en question; mais, nous l'avons déjà fait remarquer, nous n'avons pas à nous occuper de l'hypothèse d’un rayon de courbure nul; reste donc celle d’un rayon de courbure infini. Alors, la normale au même point étant de